数学建模课设_数学建模课设答案

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摘 要

汽车作为现代化的交通工具，即对人类社会文明的进步发挥了积极的作用，也对人类的健康和财产安全造成了负面效应。在某些国家的一些司机培训课程中规定了一些规则，司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到汽车完全停止住汽车行驶的距离称为刹车，车速越快，刹车距离越长。

就要对刹车距离与车速进行分析，它们之间有怎样的数值关系？

美国的某些司机培训课程中有这样的规则：在正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。按照“一车长度准则”，车速每增加10mph，前后车距应增加一个车身的长度，这表明前后车距与车速成正比例关系。试判断“一个车身准则”是否安全？

所以我们还要对刹车距离与车速做更仔细的分析，通过各种分析（主要通过数据分析）以及各种假设，我们提出了更加合理的建议。

在道路上行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，为了自己的生命安全，也为了他人的生命安全，所以谨慎驾车。

关键词： 刹车距离

车速

一车身长度准则

汽车刹车距离

一、问题提出

司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住，汽车行驶的距离称为刹车距离,车速越快，刹车距离越长，请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？

二、问题分析

问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系，一方面车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有很多其他的因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机0械状况、轮胎类型的状况、路面类型的状况、天气的状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。若果所有可能的因素都考虑到，就无法建立车速与刹车距离之间的数量关系，所以需要对问题提出合理的简化假设，使得问题可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响，从而建立刹车距离与车速之间的函数关系。

需要提出哪几条合理的简化假设？

可以假设车型、轮胎类型、路面条件都相同；假设汽车没有超载；假设刹车系统的机械状况、轮胎状况、天气状况以及驾驶员状况都良好；假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。

这些假设都是为了使得问题可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响，这些假设是初步的和粗糙的，在下面的建立数学模型的过程中，还可能随着问题的深入理解而提出新的假设，或者修改原有的假设。至于假设的合理性，一方面可以根据题意和常识来判断，另一方面，还可以等模型建立和求解完毕以后，对其进行检验分析，首先，仔细分析刹车的过程，发现刹车决定经历两个阶段。

在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，这一瞬间可以称为“反应时间”，非常短暂，但是对于高速行驶的汽车而言，汽车在这一瞬间行驶的距离却不容忽略，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离”。

在第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，这是汽车的制动过程，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离为“制动距离”。

根据以上分析，得到刹车距离的初步的数量关系如下：

刹车距离=反应距离+制动距离

（1.1）于是用文字表达的数量关系式（1.1）可以用数学符号表示为

dd1d

2(1.2)

三、基本假设

提出如下的简化假设：

（1）假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；（2）假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；

（3）假设驾驶员的反映时间为常数，汽车在反应时间内做匀速直线运动；（4）假设汽车在制动的过程做匀减速直线运动，减速度a为常数，制动力所做的功等于汽车动能的损失；

（5）假设刹车距离等于反应距离加速制距离。

四、符号约定

引入以下符号，并说明单位：

； v~车速（m/s）

d~刹车距离（m）；

； d1~反应距离（m）； k1~反应时间（s）； d2~制动距离（m）

五、建立模型

其次，考虑反应距离的子模型，根据常识，可以假设汽车在反应的时间内车速没有改变，也就是说，在此瞬间汽车做匀速直线运动。

反应时间取决于驾驶员状况和汽车制动系统的灵敏性，司机驾驶员的状况包含反应、警觉、视力等，因人而异，可以考虑平均值，即视为常数；在正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常的好，与驾驶员状况相比，可以忽略，所以再多增加一条简化假设；驾驶员每一次刹车的反应时间都一样长，于是反应距离的子模型为

d1k1v

（1.3）

再次，考虑制动距离的子模型，在制动过程，汽车的轮胎滑动摩擦地面，车速从v迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停住，用物理的语言来描述，即汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做导致汽车功能的损失，引入以下符号：

a~汽车制动减速度（m/s2）；

F~汽车制动力（N）；

M~汽车质量（kg）；

为了建立简单的数学模型，可以假设汽车在制动过程中做匀减速直线运动，减速度为a是常数，根据牛顿第二定律有

FMa

根据功能定理，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失，即

所以

d2v2/(2a)令k21/(2a)，得到制动的距离的子模型为

Fd2Mv2/2

d2k2v（1.4）最后，由（1.2）~（1.4）式，刹车距离的数学模型为

dk1vk2v2

（1.5）

即刹车距离与车速之间的二次函数关系。

到目前为止，所思考的都限于同一款车型，究竟模型（1.5）的两个系数会不会随着车型而改变？回顾以上的建模过程，不难发现，反应距离的子模型的系数k1是驾驶员的反应时间，与车型无关；而制动距离的子模型的k21/(2a)只与制动过程的的减速度a有关系，那么减速度a与车型有关吗？其实按照汽车的设计原则，所有车型在额定载荷范围内紧急刹车的减速度都相差无几，也就是说，刹车系统的最大制动力被设计成车重成正比，所以系数k2也可以被认为是车型无关的，换言之，只要对一款车型测试其在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后用测试数据拟合出模型那么所得到的刹车距离与车速之间的二次函数经验dk1vk2v2的系数k1和k2，公式，在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，对所有即没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。

本小节给出建立汽车刹车距离的数学模型的规范表达。

表2..2.1是为建立刹车距离的数学模型而引入的数学符号说明。根据假设（3），立即得到（2.2.3）；

d1k1v

根据牛顿第二定律假设（4）有

Fma

Fd2mv2/2

所以有（2.2.4）；

d2kv2

其中k21/(2a)

最后，根据假设（5）有（2.2.5）

dk1vk2v

（2.2.5）式就是汽车刹车距离的数学模型

六、模型检验

利用由美国提供的刹车距离数据（见表2.2）来进行模型的检验,，表2.2的数据使用英制单位mph（miles per hour，英里/小时）和ft（英尺），换算率为1mph=0.44704m/s，1ft=0.3048m。

在表2.2的数据中，反应距离是和车速成正比的，很明显，这样的数据是基于反应距离子模型d1k1v的，其中平均反应时间恰好为k10.75秒，所以没有必要用表2.2中反应距离的数据赖来检验反应距离子模型。

而表2.2的制动距离数据则有变化范围（包括美国公路的局所做测试中85%的观测结果）以及平均值，由于刹车距离是反应距离和制动距离之和，所以刹车距离也有变化范围和平均值，应该用表2.2中的制动距离数据来检测制动距离子模型d2k2v2，从而达到检验刹车距离的数学模型的目的。

首先，注意到子模型d2k2v2意味着d2与v成二次函数关系，而d2与v2成正比关系。因此，绘制表2.2中的制动距离数据（包括最小值、平均值和最大值）对v和v2的散点图（见图2.2）

检验二次函数关系150制动距离的最小值、平均值和最大值（m）***车速v（m/s）检验正比例关系303540******12001400车速的平方v（m2/s2）

图 2.2 说明

绘图命令利用了MATLAB函数plot的语法格式，即如果X和Y是同型矩阵（不止一行），则plot(X,Y)返回Y的列向量对应X的列向量的多重线性图，另外，通过将MarkerSize设置为2，使得标示符的大小更符合需要。

有图（2.2）得到的直观印象是：制动距离子模型d2k2v2经得起来自表2.2的数据检验。

直观的图形检验显然粗糙了一些，不够可靠，下面用最小二乘法，根据表2.2中的车速和制动距离平均值的数据，拟合出制动距离子模型d2k2v2中的系数k2，然后详细考察误差，由（1.7.1）式，拟合k2的计算公式为

k2vdi/vi

4(2.2.6)

2ii1i11313其中vi和di为表2.2中的第i行的车速和制动距离平均值，i=1，2，3，…，13，根据（2.2.6）式，在执行图2.2的绘图程序后，继续输入并执行一下命令： >> k2=sum(v2.*d2(3,:))./sum(v2.*v2)>> r=d2(3,:)-k2.*v.*v 命令窗口显示的计算结果为： k2 =

0.0827 r =

Columns 1 through 8

-0.5131

-1.7923

-2.5261

-4.2384

-4.4909

-5.2647

-5.3406

-4.7187

Columns 9 through 13

-4.0085

-2.6004

0.1151

3.9857

8.8589 所以依据表2.2的数据得到的刹车距离与车速关系的经验公式为

d0.75v0.082678v2

考察误差，发现当车速不超过65mph（即104.6km/h）时实际值都略小于理论值，但是当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随着车速的增加，误差会越来越大，这就说明制动距离子模型d2k2v2的模型假设适合较低的车速范围内；当车速更高时，可能由于漏了某些不容忽略的因素，导致模型解答不那么令人信服。

计算k2以及拟合误差的另一种方法是用统计工具箱函数nlinfit计算，在执行图2.2的绘图程序之后，继续输入并执行一下命令，所得到的计算结果和第一种方法相同：

>> f=@(k,x)k.*x.*x;>> [k2,r]=nlinfit(v,d2(3,:),f,1)命令执行的结果：

k2 =

0.0827

r =

Columns 1 through 8

-0.5131

-1.7923

-2.5261

-4.2384

-4.4909

-5.2647

-5.3406

-4.7187

Columns 9 through 13

-4.0085

-2.6004

0.1151

3.9857

8.8589

最后，可以再图2.2的两幅子图中分别添加拟合得到的子模型d2k2v2的理论值的二次曲线或直线，使得刚才的分析更直观，更容易理解（见图2.3）。

检验二次函数关系150制动距离的最小值、平均值和最大值（m）***车速v（m/s）检验正比例关系303540******12001400车速的平方v（m2/s2）

图 2.3

七、模型应用

在道路行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，人们为此提出了五花八门的建议，在美国，有人建议“一车长度准则”，即车速每增加10mph，前后车距应增加一个车身的长度；也有人建议“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何，刚才建立的刹车距离模型可以用来建议是否足够安全。

按照“一车长度准则”，车速每增加10mph，前后车距应增加一个车身的长度，这表明前后车距与车速成正比例关系，引入以下符号：

D~前后车距（m）；

v~车速（m/s）;

K1~按照“一车长度准则”，D与v之间的比例系数（s）。于是“一车长度准则”的数学模型为：

DK1v

(2.2.7)考虑家庭用的小型汽车，不妨设一车长度为5m，则

K15m5m1.1185s

10mph4.4704m/sD1.1185s 所以（2.2.7）式即为

比较（2.2.5）式与（2.2.7）式得

dDv[k2(K1k1)]

所以当v(K1k1)/k2时有dD，即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全；当v(K1k1)/k2时有dD，即前后车距小于刹车距离的理论值，不足够安全。

代入k10.75，k2=0.082678以及K11.1185，计算得到当车速超过4.5m/s（约合16km/h）时，“一车长度准则”就不够安全了，也就是说，“一车长度准则”只适用车速很慢的情况。

另外，还可以通过绘图直观的解释为什么“一车长度准则” 不够安全，用以下程序把表2.2的刹车车距离实测数据和“一车长度准则”都画在同一幅图中（见图2.4）：

比较刹车距离实测数据、理论值和一车长度准则***0距离(m)一车长度准则刹车距离理论值刹车距离的最小值、平均值和最大值***01520车速v(m/s)25303540

图 2.4

八、模型评价

1.模型优点

此模型主要是针对司机在驾驶的过程中，出现突发紧急情况刹车距离的一种评估分析方法，在现实的情况当中，能够很好地反应客观现实。司机应注意在驾驶的过程中，速度不应该过大，随着速度的增大，刹车距离越长，越容易出现交通事故。所以应根据自己的驾驶经验，控制好驾驶速度，保障自己和他人的生命安全。2.模型缺点

此模型考察误差，发现当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随着车速的增加，误差会越来越大，这就说明制动距离子模型d2k2v2的模型假设适合较低的车速范围内当车速更高时，可能由于漏了某些不容忽略的因素，导致模型解答不那么令信服。所以此模型考虑的因素不够全面，导致在实际的应用当中，有误差。

参考文献

[1] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.[2]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005 [3]吴建国，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005 [4]袁绍辉，数学建模，北京：科学出版社，2010 [5]王树禾，数学模型选讲，北京：科学出版社，2008

附录

表2.1 符号说明

符 号

单 位

名 称

说

明 v

m/s

车速

d

m

刹车距离

从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶距离

dm

反应距离

从司机决定刹车到踩下刹车踏板行驶距离 d

2m

制动距离

从司机踩下刹车踏板到车完全停住行驶距离 k1

s

反应时间

从司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间

a

m/s2

减速度

汽车制动过程的减速度

F

N

制动力

汽车制动过程的制动力

M

kg

汽车质量

k2

s2/m

k21/(2a)

表2.2 反应距离和制动距离的实际观测值

车速/mph

反应距离/ft

制动距离/ft

刹车距离/ft 范围*

平均值

范围

平均值 20 22

18~22

40~44

25 27.5

25~31

52.5~58.5

55.5 30 33

36~45

40.5

69~78

73.5 35 38.5

47~58

52.5

85.5~96.5

40 44

64~80

108~124

45 49.5

82~103

92.5

131.5~152.5

50 55

105~301

118

160~186

173 55 60.5

132~165

148.5

192.5~225.5

209 60 66

162~202

182

228~268

248 65 71.5

196~245

220.5

267.5~316.5

292 70 77

237~295

266

314~372

343 75 82.5

283~353

318

365.5~435.5

400.5 80 88

334~418

376

422~506

464

*范围包括了美国公路局所测试中85%的观测结果 图2.2，程序如下： >> v=(20:5:80).*0.44704;>> v2=v.*v;>> d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376 ];>> d2=0.3048.*d2;>> subplot(2,2,1),plot([v;v;v],d2,'o-k','MarkerSize',2)

title('检验二次函数关系'),xlabel('车速v（m/s）')

ylabel('制动距离的最小值、平均值和最大值（m）')

subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,'o-k','MarkerSize',2)

title('检验正比例关系'),xlabel('车速的平方v^（m^2/s^2）')

图2.3的绘图程序如下：

>> subplot(2,1,1),plot([v;v;v],d2,'-ok','MarkerSize',2)hold on,plot(v,k2.*v2,'k'),hold off

title('检验二次函数关系'),xlabel('车速v（m/s）')

ylabel('制动距离的最小值、平均值和最大值（m）')

subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,'-ok','MarkerSize',2)

hold on,plot(v2,k2.*v2,'k'),hold off

title('检验正比例关系'),xlabel('车速的平方v^（m^2/s^2）')

见图2.4，程序如下：

>> v=(20:5:80).*0.44704;>> d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];>> d2=0.3048.*d2;>> k1=0.75;k2=0.082678;K1=1.1185;>> d1=[v;v;v].*k1;d=d1+d2;>> plot([0,40],[0,K1*40],'k'),hold on

plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')

plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2),hold off

title('比较刹车距离实测数据、理论值和一车长度准则')

legend('一车长度准则','刹车距离理论值',...'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)

xlabel('车速v(m/s)'),ylabel('距离(m)')

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