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随机变量独立性的一个注记
二十世纪三十年代，前苏联数学家Kolmogorov 以Lebesgue的测度论为基础，建立了概率公理化体 系，使概率论成为一门的数学分支，并在此后获 得飞速发展．但是，鉴于学习者的数学基础，目前国内 的概率论课程基本上不以测度论为基础讲授，对 数学专业，绝大多数院校也只要求学生具备一定的数 学分析、高等代数基础即可，这使得一些概率论的知 识点不易被严格、地传授给学生，如果处理不好，就会影响学生对这些知识点的理解和认识．本文对此 作一个讨论． 1随机变量独立性问题的一误解法 两个随机变量的独立性一般是这样定义的： 定义1设(X，Y)是二维随机变量，如果对任意 的实数X，Y总有 P(X≤，Y≤P(X≤)·P(Y≤3，)，(1)则称随机变量X，y相互独立． 这等价于，当二维随机变量(X，y)的联合分布 函数等于两个边缘分布的乘积，即 F(，)一Fx()·Fr()(2)时，则称随机变量X，y相互独立． 利用定义1判断两个随机变量是否独立时并不方 便，对于二维离散型随机变量和连续型随机变量 分别有更容易的判别方法．在一般的教材中，二维连续 型随机变量独立性的判定方下． 设(X，y)是二维连续型随机变量，则随机变 X，y相互独立的充分必要条件是：联合概率密度 数等于两个边缘概率密度函乘积，即 f(x，)一fx(z)·^()．(3)如果上述充分必要条件成立，则下例的解法是 确的． 例设二维连续型随机变量(X，y)在轴 轴及直线+去一1所围成的闭区域A上服从均 分布，试问：随机变量X、y是否相互独立? 解易知(X，y)的联合概率密度函数为 X与y各自的边缘概率密度函数为 触一一：c； ^(3，)一 j卜詈，0≤≤2； 【0，其它． 取z一寺，3，一专，显然有： 厂({，一1，x(丢)·^(专)一号×{=詈，厂(丢，1)≠^({)·^(丢)，2进一步分析 事实上，上述充分必要条件只是一个充分条件，是一个必要条件．因为即使在一个零测度集上 f(x，3，)≠fx()·厂y()，也不会使得我们所求的联合分布函数和边缘分布函 发生改变，所以要求处处有 f(x，)一fx()·^()才能说明随机变量X、y相互独立是过于苛刻的． 那么，如何证明X与y相互立呢?我们先给出 准确的连续型随机变量X，y相互独立的充分必要条件． 连续型随机变量X，y相互独立的充分必要条件 是：处处有联合概率密度函数等于两个边缘概率 密度函数的乘积． 如果要想证明两个随机变量X，y相互不独立，必须证明：至少个非零测度集上，几乎处处有 f(x，)≠，x(z)·^(3，)．(4)正确做法如下：由所求得的边缘概率密度可得 fx()·^()一 f(1一，0≤≤1，0≤Y≤2； 10，其它． 在非零测度集A上，几乎处处有(4)式，所以X与y 相互不独立． 3结论 目前国内的概率程基本上不以测度论为基 础讲授，这使得判定两个连续型随机变量独立问题的 充要条件表述不严密．严格的连续型随机变量X，互独立的充分必要条件是：几乎处处有联合概率密 度函数等于两个边缘概率密度函数的乘积．对两个随 机变量X，y来说，至少个非零测度集上，几乎处 处有(4)式成立时，才能说两个随机变量不独立． 参考文献 [1]复旦大学．概率论(第一册)[M]．北京民教育出版社，1982：116——135． [2]魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出 版社，1991：110一l13．
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