从数学归纳法到多米诺骨牌_多米诺骨牌定律的因素

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教学随笔

从数学归纳法到多米诺骨牌----浅谈新课程下数学教学的还原化

杨志良 2010.1

从数学归纳法到多米诺骨牌----浅谈新课程下数学教学的还原化

陕西省宝鸡中学

杨志良

721013 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。简单的讲，数学就是在大量实际问题中进行抽象概括，从中刻画出事物的本质，形成方法和理论，然后再将方法和理论用于实践活动。然而，经过对具体事物进行抽象后所形成的数学知识，有着高度概括的特点，往往使人感到高深莫测，隐晦难懂。数学知识的学习，关键在于理解，其抽象性往往会给学习者和教学者带来一定的困难。

新课程标准指出，数学教育要使“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”，这就要求我们教师在在教学过程中时时把握数学的本质，从学生的角度考虑问题，将抽象的数学知识还原到实际生活，让学生体会数学知识生成的过程，从而达到对知识的有效理解。

下面笔者将以数学归纳法（第一数学归纳法）的教学，浅谈数学的还原化教学。数学归纳法是高中数学证明的重要方法，在北师大版教材中其概念如下：

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法。它的基本步骤是：（1）验证：n1时，命题成立；

（2）在假设当nk(k1)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立。

根据（1）（2）可以断定命题对一切正整数都成立。初学者往往对上述定义感到困惑，而多数教师会从依次递推的思维角度解释上述方法，然后举具体的例子进行辅助理解。例如：

n(n1)(2n1)（n是正整数）。

6123证明：（1）当n1时，左边=1，右边==1，左边=右边，等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即

k(k1)(2k1)122232k2

6则当nk1时，由假设 求证：123n2222122232k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)262k39k213k66(k23k2)(2k3)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)[(k1)1][2(k1)1]6即当nk1时，等式成立，由（1）（2）知对于nN等式成立。

至此，学生大致可以明白数学归纳法为何物？能够知道使用数学归纳法分两步：先验证，然后由假设nk成立推到过渡到nk1成立即可，对于简单的命题可以模仿的去证明。但是，对为什么数学归纳法证明的问题成立，其原理是什么等问题还是一团雾水。

事实上，上述教材中的概念其实是数学归纳法的解题步骤，学生所理解得到仅仅是数学归纳法的步骤格式，认知水平仅停留在模仿的层面上。从本质上讲，数学归纳法之所以成立，依赖于归纳公理。下面我们从理论上证明数学归纳法：

数学归纳法（第一数学归纳法）设P(n)是关于正整数n的一个命题（或性质），如果：（1）当n1时，P(n)成立；

（2）由P(n)成立可以推出P(n1)成立。那么，对任意nN，P(n)都成立。

证明：先给出皮亚诺提出的关于正整数的五条公理中的第五公理，即归纳公理：

归纳公理 设S是正整数集N的一个子集，满足条件：

（1）1S

（2）如果nS，则n1S。那么，SN 下证数学归纳法，记S{n|nN,且P(n)成立}，则S为N的子集。由（1）知1S；由（2）知如果nS，则n1S。这样由归纳公理可知SN，即对任意nN，P(n)都成立。

原来，数学归纳法是以归纳公理为基础，推理证明而得的一种理论方法。我们将数学归纳法还原为其成立的公理，揭示了其本质。至此，数学归纳法的科学性已经通过理论证明了，我们可以毫无顾忌的使用数学归纳法。但对于学生来讲，以上推证也难免过于隐晦难懂，甚至连归纳公理都弄不明白。因此，我们要达到有效教学目的，还需要将以上公理在进行形象化，还原成生活中实在的事物，以帮助我们来理解。下面我们来介绍多米诺骨牌原理来帮助我们理解归纳法：

多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。其原理是第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

① ② ③ ④

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：

（1）第一块骨牌倒下

（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下

这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。（如图所示）

如此，对于归纳公理及数学归纳法的理解就直观多了，也能体会到归纳法的内涵所在。我们还可以这样考虑，归纳法中的（1）n1时成立其实是在验证引发递推的初始条件，其中n1可以理解为nn0（n0为初始值）；（2）由nk过渡到nk1，可以理解为递推的连续性，即前反应必须引发后一反应，是任意的前后联系，而不是简单的k和k1的联系。例如：

求证：当n为正奇数时，71能被8整除。

1证明：（1）当n1时，718能被8整除；

n（2）假设nk（k为正奇数）时，71能被8整除，k2则当nk2时，71727k7272172(7k1)48

k因为71能被8整除，且48能被8整除，所以7即当nk2时，命题成立。kk21能被8整除。

由（1）（2）知当n为正奇数时，71能被8整除。

这样，我们就对数学归纳法有一个全面的理解和体会了。我们从抽象难懂的数学定义定理中一步步寻找数学的来源，将数学的本质逐渐还原到生活中，慢慢揭开数学知识的本质，然后体会数学知识形成的过程，从中深刻理解相关原理，使我们的教学更有效果。

参考文献：

[1]严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[Ｍ].北京：北京师范大学出版社，2008 [2] 薛金星.中学教材全解高中数学选修2-2[Ｍ].西安：陕西人民教育出版社，2009 [3] 刘沂.多米诺骨牌游戏手册[Ｍ].北京：中国画报出版社, 2001 [4] 段志贵.归纳公理与数学归纳法探究[J].上海中学数学，2007(6)

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