高中数学必修5不等式中均值不等式链的几种证法_高中必修五均值不等式

高中数学必修5不等式中均值不等式链的几种证法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高中必修五均值不等式”。

关键词：基本不等式高中数学教学随笔必修5 >> 不等式

均值不等式链

aba2b

2ab基本不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当ab时等号成立。22ab

2aba2b222ab 注：算术平均数---2；几何平均数---ab；调和平均数---ab；平方平均数---2

ab

证明1：（代数法）

（1）a0，b0(a)20ab2abab

2ab；

（2）ab212abab2

2ab0ababababab；

ab

222b2)2aba2b2a2b2(ab)2a2

（3）ab2ab2(ab2ab

2422；

综上，2

abab

2a2b2

2，当且仅当ab时“”成立。

ab

证明2：（几何法）

G

A

B

如图，ACa，BCb，ABab，以AB为直径作圆O，则

图1：ODab，DCOD

2，DCababab

2；

图2：DCab，DEDC222ab

ODab

ab，DEDCabab；

aba2b2

图3：OCaba2b2

2，GC2，OGGC22； 综上，2aba2b2

ab22，当且仅当ab时“”成立。

ab

授之以鱼，不如授之以渔。

1界首一中2011-01 证明3：（几何法）

作梯形ABCD，使AD//BC，B90，ADBCCD，令ADa，BCb，(ba)，E、F分别是AB、CD的中点，过E作EGCD于G，过G作GHAB于H，在EB上截取EN则E、F分别是AB、CD的中点，EF

ED平分ADCEGEAba，2ba，21ABab，2DGaADCGBCDG2abGHDGDA，GCBC，即GH，GCbabab

baa2b2

EN，NF22

2ababa2b2

显然，GHEGEFFN，∴ abab22

2ababa2b2

当“ab”时。abab22

证明4：（几何法）

(ba)，作梯形ABCD，使AD//BC，B90，ADBCAB，令ADa，BCb，在AB上截取AEADa，AFBCb，则BEb，BFa

过E作EGAB交CD于G，过F作FOCD于O，过O作OHAB于H，在EH、GO上分别取点M、N，使梯形EGNM与梯形MNOH相似，1a2b2

则ADBF，AFBC，DFCFabCODOOFCD，2222

ADBCab22，ADBEBCAE2abAEa，BEbEG，abab

EGMNMNEGOHab 梯形EGNM与梯形MNOH相似MNOHOCODOH

2ababa2b2

显然，EGMNOHOF，∴ ab22

2ababa2b2

当“ab”时。abab22问题是思考的结果，是创造的开始。

均值不等式

课标分析（1）课程标准要求：课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用 基本不等式解决简单的最大（小）问题。 （2）课程标准解读这个要求可以分为两个层次：一是探索并......

均值不等式

均值不等式定义Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。 其中：1、调和平均数：2、几何平均数：3、算术平均数：4、平......

均值不等式

均值不等式百科名片1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)......

(均值不等式)

均值不等式归纳总结1.(1)若a,bR，则ab2ab 22a2b2(2)若a,bR，则ab2*（当且仅当ab时取“=”） 2.(1)若a,bR*，则ab2(2)若a,bR ，则ab2ab （当且仅当ab时取“=”）ab(3)若a,bR，则ab2*2(当且仅当a......

均值不等式教案

§3.2 均值不等式【教学目标】1.理解均值不等式2.能利用均值不等式求最值或证明不等式【教学重点】掌握均值不等式【教学难点】利用均值不等式证明不等式或求函数的最值，【教......