4函数思想在不等式证明中的应用_函数不等式的证明

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不等式证明中的函数思想

函数思想在不等式问题中有着广泛的应用，在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者经过适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质，将不等式问题转化为函数问题，从而拓宽解题思路，降低问题的难度。‘构造函数法’是一种创造性的数学思想方法，它的应用不仅体现在证明不等式上，还对于训练学生的数学思维，提高解题能力等方面有着很大的帮助。

一 构造一次函数

例1 已知x、y、z0,1,求证x1yy1zz1x

1分析因为x、y、z在不等式中的地位可以轮换，所以可以以任何一个作为自变量，构造一次函数

证明：原不等式可化为1yzx1yz10

构造函数fx1yzx1yz1x0,1

因此只需要证明fx0在x0,1时恒成立，又∵y、z0,1所以（1）当1yz0时，fx1y z10

（2）当1yz0时，f01yz1 0

f1yz0

又因为一次函数的单调性，所以fx0在x0,1时恒成立

综上，fx0在x0,1时恒成立，故原不等式得证。

二构造二次函数

例2设函数fxax2bxca0，方程fxx0两根x1,x2满足0x1x21，当xx1,x2时，求证 x1fxx2a

分析分析已知条件，构造相应的二次函数

证明：令Fxfxx由x1,x2为方程fxx0的两根，所以Fxaxx1xx2当xx1,x2时，由0x1x2

又x1fxx1xFxx1xax1xxx2

=x1x1axx2 1 a

∵0x1xx21x1x0,1ax2ax0 a

得x1fx0 即x1f(x)①

又∵x2fxx2xFxx2xax1xxx2

=x2x1axx1

∵0x1xx21x2x0,1ax1ax0a

得x2fx0②由①②得x1fxx

2三构造指（对）数型函数

例3已知实数x2，求证6x8x10 x

分析利用指数函数的单调性证明 34证明：原不等式可化为155

34构造函数fx因它是减函数，且f21 55

又x2，则fxf21 xxxx

34即1，故原不等式成立 55

b、c为互不相等的正数，求证a2ab2bc2cabcbaccab 例4设a、xx

分析利用对数函数的单调性证明

证明：构造对数函数fxlgx，fxlgx在0,上是增函数

因为ab与lgalgb同号，a所以(ab)(lg

b同理有(bc)(lg

c(ca)(lglbg)lcg)lag)

将上面三个同向不等式相加，左边展开并加以整理得

blgb2alga22clcgalbgcblgac cab

a2ab2bc2cabcbaccab所以原题得证

四构造三角函数

1x23例4

求证 21x2分析利用三角函数的有界性解决问题 1x2证明：令xtan,,

则cos22sin 21x22=12sin22sin 1331=2(sin)2当sin即时取等号

22226

此时xtan()故原题得证 6此外，有些不等式从形式上观察，好象无法用构造函数法证明，但只要我们认真观察，善于等价转化，对不等式加以适当的整理变形，有的时候也可以构造合适的函数来证明。

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