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利用导数证明不等式
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最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+
12..证明：a-a^2>0其中0
F(a)=a-a^
2F'(a)=1-2a
当00;当1/2
因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有当00
3.x>0,证明：不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，知sinx
再证x-x³/6
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它
要证x²/2+cosx-1>0x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0sinx
x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x²/2-cosx-10
所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x³/6
利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x²x∈
则f'(x)=1-2x
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈时,f'(x)
故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n为正整数，且1
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