数列中有关证明问题（优秀）_证明数列极限存在

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数 列 有 关 证 明

一、证明数列是等差数列和等比数列

方法：⑴ 定义法：用 等差数列和等比数列的定义；⑵中项法：等差中项和等比中项．

1．已知数列{an}中，a11，an12an+2(nN)．

(1)求证数列nan是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和为Sn． n12

2．已知数列{an}中，a12，an14an-3n+1(nN)．

（1）证明：数列{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；

（3）证明：对任意 nN，都有Sn14Sn．

3．已知数列{an}中，a1

（1）证明：数列

数 列 有 关 证 明第1页 2an2，an1(nN)． 3an11n1是等比数列；（2）求数列的前n项和为Sn． anan

4．数列{an}中，a11，an1112，bn(nN)． 4an2an

1（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求证：数列{an}中对任意nN，都有an1﹤an；

（3）设cn(2)n，问数列{cn}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？存在求出这三项，不存在说明理由．

5．已知数列{an}中，a11，a23，an23an1-2an．

（1）证明：数列{an1-an}是等比数列；（2））求an；

（3）若数列{bn}满足

4b11b4b21…4bn1(an1)bn，证明：数列{bn}是等差数列．

6．已知数列{an}的前n项和为Sn

n(a1an)，求证：数列{an}是等差数列．

2数 列 有 关 证 明第2页

7．等差数列{an}中，a26，a518，数列{bn}的前n项和为Sn=1bn1． 2

（1）求an；（2）求证：数列{bn}是等比数列；（3）求证：an1bn1anbn．

8．数列{an2

n}前n项和为Sn，a11，an1nSn．

证明：（1）数列{Sn

n}是等比数列；（2）Sn14an．

9．数列{aban

n}的前n项和为Sn，n2(b-1)Sn．

(1)证明：当b=2时，数列{a1

nn2n}是等比数列；

10．数列{an}的前n项和Sn=2an2n(nN)．

（1）求证：数列an12an是等比数列；（2）求an．

数 列 有 关 证 明第3页 2）求an．（11．数列{an}前n项和为Sn，a11，a26，a311，且（5n8）Sn1(5n2)Sncnd．

(1)求c、d的值；（2）证明：数列{an}是等差数列；

（3）证明：不等式amnaman1对任意m、nN都成立．

12．正项数列{an}、{bn}满足：a11，a22，bn=anan1，且{bn}是公比为q的等比数列．

（1）证明：an2anq2；（2）记cna2n12a2n，证明：数列{cn}是等比数列；

（3）求和：Tn111111． …a1a2a3a4a2n1a2n

二、证明数列中的等式和不等式

1．数列{an} 满足：an=n，n2k1，（kN）． a，n2k，k

（1）求值：a2a4a6…a14a16；

（2）若S2na1a2a3…a2n1a2n，求证：S2n4n1S2n1(n2)．

数 列 有 关 证 明第4页

2.已知点（1，1）是函数f(x)ax(a0,且a1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为 3

． f(n)c，数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn1=Sn+Sn1（n2）

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若数列{10001的最小正整数n是多少? }前n项和为Tn，问Tn>2009bnbn1

xy1恒成立． 3．实数集R上的函数f(x)对任意x，y满足f(xy)f(x)f（y）

（1）求f(0)，f(1)的值；（2）设an=f(n)，bn1，求证：b1b2…bn4． 1an

4．数列{an}的前n项和Sn，a12，Sn14an2(nN)．

求证：（1）数列{an1-2an}是常数列；(2)

数 列 有 关 证 明第5页 a1na11a21…n． a21a31an112

5．已知数列{an}中，an=aan(n1)，记bnnn1，证明： 2an1an2nb1b2b3…bn2n3(nN)．

6．已知数列{an}中，a1a，an1

（1）判断数列2(2n3)an4n10(nN)． 2n1an2是否是等比数列； 2n1

1111…(n3)． S3S4Sn10（2）数列{an}的前n项和Sn，a11，证明：

a(an1)(a0，a1)． a1

2Sn（1）求an；（2）记bn1，若数列{bn}是等比数列，求a的值； an

111（3）在（2）中求得a值下，设cn，数列{cn}前n项和Tn，求证：Tn2n． 31an1an17.数列{an}的前n项和Sn

数 列 有 关 证 明第6页

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