极坐标参数方程与几何证明题型方法归纳(精)_极坐标参数方程题型

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222 cos sin x y x y ρρ

ρθ

⎧=+⎪=⎨⎪=⎩ 极轴

一、极坐标与参数方程选讲

1、极坐标与直角坐标的公式转换:

2、点的极坐标含义(, M ρθ: 练习:

(1 在直角坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin ρθθ=-，写出曲线 C 的直角坐标 方程.04222=+-+y x y x(2 在平 面直角坐标系 xOy 中, 点 P 的直角坐标为(1,.若以原点 O 为极点, x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈

(3在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为 3, 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 4, 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则△ AOB(其 中 O 为极点的面积为.提示:1 sin 2 S ab C = =3

(4在极坐标系(ρ, θ(0 ≤ θ

提示:这两条曲线的普通方程分别为 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-⎧⎨=⎩

(5 已 知 直 线 l 的 参 数 方

程 为 :2, 14x t y t =⎧⎨

=+⎩(t 为 参 数 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为

ρθ=,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 相交(6已知直线的极坐标方程为(4R π θρ=

∈,它与曲线 12cos 22sin x y α α

=+⎧⎨=+⎩(α为参数相 交于两点 A 和 B ,则(7若直线 12, 23.{x t y t =-=+(t 为参数与直线 41x ky +=垂直,则常数 k =________.6-=k(8设直线 1l 的参数方程为 113x t y t =+⎧⎨

=+⎩(t 为参数 ,直线 2l 的方程为 y=3x+4则 1l 与 2l 的 距离为 _______ 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。解析:由题直线 1l 的普通方程为 023=--y x ,故它与与 2l 的距离为3|24|=

+。

(9 在极坐标系中, 直线 l 的方程为 ρsin θ=3, 则点(2, π/6到直线 l 的距离为.【解析】法 1:画出极坐标系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐标 可得答 案 2.(10在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(33 R t t y t x ∈⎩

⎨⎧-=+=参数 ,圆 C 的参数 方程为 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 参数 ∈⎩⎨

⎧+==y x ,则圆 C 的圆心坐标为.(0, 2 ,圆心 到直线 l 的距离为 22.(11在极坐标系中, P Q , 是曲线 C :4sin ρθ=上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值 为.4【解析】最长线段 PQ 即圆 22(2 4x y +-=的直径.(12曲线 C 的参数方程是 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧

-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 为参数 ,则曲线 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,平方后相减消去参数 t(13 已知曲线 132 14x t y t ⎧

=-+⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数与曲线 2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数的交点为 A , B , ,则 AB =

(14 若直线 :l y kx =与曲线 { 2cos :sin x C y θθ=+=(参 数 ∈θR 有唯一的公共点,则实数 k =

.二、几何证明选讲

1、与切线有关 构造直角三角形

如图, AB 是 ⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点, 过 P 作 ⊙ O 的 切 线 , 切 点 为 C , 2=PC , 若

︒=∠30CAP ,则 ⊙ O 的直径 =AB 4.切割线定理

如图 1所示, 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A , B 两点, 已知 PA =2, 点 P 到 O的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如图,直角三角形 ABC 中, ︒=∠90B , 4=AB ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D , 2=AD ,则 C ∠的大小为

提示 连接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C2、相交弦定理、垂径定理

如图 AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 则 CP =______.【解析】因为点 P 是 AB 的中点,由 垂径定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ∆ 中, cos30BP AP a ===

.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ⋅=⋅ 2 3 CP a =⋅,所以 98CP a =.图 1 A B C 图 3

N3、射影定理

2, CD AD DB =⨯ 2BC BD AB =⨯, 2AC AD AB =⨯ 如 图 , AB 是 半圆 O 的 直 径 , C 是 半 圆 O 上 异于 A B , 的 点 , C D A B ⊥, 垂 足 为 D , 已

知 2AD =, CB =, 则 CD =

.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=

4、相似比

如图,在 ABC ∆中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,则 AB 的长为 __9 2 _________.5、圆的内接四边形对角互补 如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O , BC 是直径, MN 与⊙ O 相切 , 切点为 A , MAB ∠35︒=, 则 D ∠=.125︒

6、圆心角 =2倍圆周角

如图,点 A B C、、是圆 O 上的点,且 4AB =, o 30ACB ∠=, 则圆 O 的面积等于 _________.解:连结 OA , OB ,则∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 为正三角形,圆 O 的半径 r=4AB =,于是,圆 O 的面积等于 πππ1642 2 =⨯=r 如图 , 已知△ ABC 内接于⊙ O ,点 D 在 OC 的 延长线上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 则 AD 的长为

.提示 连接 OA ,圆心角 AOD=2B=60°, AOC 是等边三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。

A

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