高中数学单元训练不等式的证明(一)_高中数学不等式的证明

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课时训练36不等式的证明

（一）【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.设0＜x＜1，则a=2x,b=1+x,c=

中最大的一个是（）1x

A.aB.bC.cD.不能确定 答案：C

解析：因0＜x＜1,故 1-x2＞0,即1+x＜

1221,b＜c,又1+x-2x=(x)+＞0,故a＜1x2

2b,即最大的是C.2.(2010北京东城区一模，4)已知a＜0,b＜-1,则下列不等式成立的是（）

aaaa＞2B.2＞＞a bbbbaaaaC.＞2＞aD.＞a＞2 bbbb

A.a＞答案：C

a

＞0,b＞-1.则b2＞1.b

1a

∴2＜1.又∵a＜0,∴0＞2＞a.bbaa

∴＞2＞a.故选C.bb

解析：∵a＜0,b＜-1,则

3.设a＞b＞0，则下列关系式成立的是（）A.ab＞(ab)C.aabb=(ab)答案：A 解析：ab÷(ab)

ab

ab

ab2

B.ab＜(ab)

ab

ab2ab2的大小不确定

ab2

D.aabb与(ab)

ab2

a=()b

ab2

a,因a＞b＞0,故ab＞1,a-b＞0,()

b

ab2

＞1.4.设a,b∈R+，且ab-a-b≥1，则有（）

A.a+b≥2(2+1)B.a+b≤2+

1C.a+b＜2+1D.a+b＞2(2+1)答案：A

解析：由ab≥1+a+b(5.若0＜x＜

ab2)≥1+a+b,将a+b看作一整体即可.2

,设a=2-xsinx,b=cos2x,则下式正确的是()2

A.a≥bB.a=bC.a＜bD.a＞b 答案：D

解析：a-b=2-xsinx-cos2x

x2x2x22

=sinx-xsinx+1=(sinx-)+1-,因为0＜x＜,所以0＜＜＜1.所以a-b＞0.22441626.设a,b,c为△ABC的3条边，且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则()

A.S≥2PB.P＜S＜2PC.S＞PD.P≤S＜2P 答案：D

解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,∴S≥P.2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)＞b2+c2+a2=S,∴2P＞S.7.若a,xy∈R+,且x+y≤axy恒成立，则a的最小值是()A.22B.2C.2D.1 答案：B

解析：因(xy

xy)2=1+2xy2xy≤1+=2, xyxy

故xy

xy的最大值为2.即amin=2.二、填空题（每小题5分，共15分）

8.在△ABC中，三边a、b、c的对角分别为A、B、C，若2b=a+c，则角B的范围是___________.答案：0＜B≤

3a2c2b23a23c22ac29a2c22ac1解析：cosB=≥.2ac8ac8ac

2∴0＜B≤.339.已知ab+bc+ca=1，则当____________时，|a+b+c|取最小值_________________.答案：a=b=c=

解析：|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3ab+3bc+3ac=3.10.民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比越大，采光条件越好，则同时增加相等的窗户面积与地板面积，采光条件变_____________（填“好”或“坏”）.答案：好 解析：设窗户面积为a，地板面积为b，则a＜b,且aama.≥10%,设增加面积为m，易知bbmb

三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）

11.已知函数f(x)=x2+ax+b,当p、q满足p+q=1时，试证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)对任意实数x、y都成立的充要条件是：0≤p≤1.证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)

=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b

=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy

=pq(x-y)2.∵(x-y)2≥0,∴欲使pq(x-y)2≥0对任意x、y都成立，只需pq≥0p(1-p)≥0p(p-1)≤00≤p≤1.故0≤p≤1是pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立的充要条件.12.若a、b∈R+且a+b=1,求证：a11b≤2.2

2证明：a11b≤2 22

11b≤4 22a+b+1+2a

a

ab+11b≤1 22ab1+≤1 2

41ab≤.4

ab21∵ab≤()=成立, 24

∴原不等式成立.13.已知a、b、x、y∈R+且11,x＞y.ab

求证:xy.xayb

证法一：（作差比较法）∵xybxay, xayb(xa)(yb)

11且，a、b∈R+, ab又

∴b＞a＞0.又x＞y＞0,∴bx＞ay.∴bxayxy＞0，即.(xa)(yb)xayb

证法二：（分析法）

∵x、y、a、b∈R+,∴要证

0,∴b＞a＞0.又x＞y＞0,14.给出不等式11xy,只需证明x(y+b)＞y(x+a),即证xb＞ya,而同＞abxaybxb＞ya显然成立，故原不等式成立.≥x21c

x2c1c(x∈R).经验证：当c=1,2,3时，对于x取一切实数，不等式c

都成立，试问c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立，若成立，则证明，若不成立，求c的取值范围.解析：由x21c

x2c

1≥1c ≥c+x2c+x2c1 c

1≥0)≥0 (x2c-c)+ 1x2c1-(x2c-c)(1-xcc2

假设x∈R时恒成立，显然x2c-c≥0

即有1-1

xcc2≥0 1x2c·≥1x2≥-c c

左边x2≥0，而右边不恒≤0，故此不等式不能恒成立.若恒成立则必有1-c≤0 c

c210,c≥1时恒成立.c又c0,

高中数学单元训练不等式的证明(二)

课时训练37不等式的证明（二）【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）a2b21.设0＜x＜1,a、b为正常数，的最小值是（）x1xA.4abB.2(a2+b2)C.(a+b)2D.(a-b)2答案......

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