高中数学单元训练不等式的证明(二)_高中数学不等式的证明

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课时训练37不等式的证明

（二）【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）

a2b

21.设0＜x＜1,a、b为正常数，的最小值是（）x1x

A.4abB.2(a2+b2)

C.(a+b)2D.(a-b)

2答案：Ca2b2

解析：令x=cosθ,θ∈(0,),则=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥2x1x

a2+b2+2ab=(a+b)2.2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是（）

A.［-2，25］B.［-2，2］

C.［-，］D.［0，］

答案：A

解析：设a=cosθ,b=sinθ,则a-b=(cosθ-sinθ)=2·cos(θ+-2,2］.3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是（）

A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＜lg(a+b)B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＞lg(a+b)

C.acos2)4bsin=a+bD.acosbsin＞a+b 22

2答案：A

解析：cos2θlga+sin2θlgb＜cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b＞0是f(x)＞0在［0，1］上恒成立的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：a+2b＞0a+b＞0f（121)＞0,不能推出f(x)＞0,x∈［0,1］;反之，f(x)＞0,x∈［0,1］2

1f()＞0a+2b＞0.2

5.(2010重庆万州区一模，7)已知函数y=f(x)满足：①y=f(x+1)是偶函数；②在［1，+∞）上为增函数.若x1＜0,x2＞0,且x1+x2＜-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是()

A.f(-x1)＞f(-x2)B.f(-x1)＜f(-x2)

C.f(-x1)=f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定 答案：A

解析：y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).又x1+x2＜-2,-x1＞2+x2＞2，故f(-x1)＞f(2+x2)=f(-x2).6.(2010湖北十一校大联考，9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都

成立，且在［-2，0］上单调递增，a=f(37),b=f(),c=f(log18)，则下列成立的是()222

A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞b

答案：B 解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),∴T=4,而f（x）在R上为偶函数又在［-2，0］上单调递增，所以f(x)在［0，2］上单调递

减.b=f(1137)=f(-)=f(),c=f(log18)=f(-3)=f(1),a=f().22222

∵31＞1＞,∴b＞c＞a.22

227.设a、b、c、d∈R，m=a2b2+c2d2,n=(ac)(bd),则()

A.m＜nB.m＞nC.m≤nD.m≥n

答案：D

解析：设A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB|≥|AB|,∴得m≥n.二、填空题（每小题5分，共15分）

8.设x＞0,y＞0,A=

答案：A＜B

解析：A= xyxy,B=,则A，B的大小关系是__________________.1xy1x1yxyxy=B.1xy1xyx11y

9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，则k的最大值是____________.答案：-

2解析：设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+

-2.10.设｛an｝是等差数列，且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________.答案：［-552，552］ ),∴k≤-2.∴k的最大值为

4aa112aa11aa11解析：由1≥(1)1∈［-52,52］.222

∴S=a1+a2+…+a11 22

=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =11(a1+a11)∈［-552,552］.2

三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）

11.若x,y均为正数，且x+y＞2.求证: 1y1x与中至少有一个小于2.xy

1y1x1y1x与均不小于2，即≥2且≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得xxyy证明：假设

2+x+y≥2(x+y)，推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.n(n1)(n1)2

12.已知an=223+…+n(n1)(n∈N),求证：＜an＜对n∈N*

22*恒成立.证明：an＞222+…+n2=1+2+3+…+n=n(n1), 2

1nn22n(n1)2

而an＜［(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))］=+(1+2+3+…+n)=＜.2222

13.若a,b,c为三角形三边，x,y,z∈R,x+y+z=0,求证：a2yz+bzzx+c2xy≤0.证明：∵z=-x-y,∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,∴原不等式f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0.

(*)

∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=［(a2+b2+2ab)-c2］［(a2+b2-2ab)-c2］=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),a,b,c为三角三边，∴Δ＜0.∴b2＞0,∴f(x)＞0对x∈R恒成立，即（*）表示，∴原不等式得证.14.已知：a∈R+,求证：a+4a1a4

a≥17.4

证明：∵a∈R+，设t=a+4a≥2a14=4,则左式=f(t)=t+(t≥4)ta

∴f(t)=(t12)+2在t≥4上递增.t

117=得证.44∴f(t)≥f(4)=4+

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