数学分析中不等式的证明方法与举例论文_不等式的证明方法论文

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分院名称：数学学院 学生学号：0907140132

长春师范大学

本科毕业论文（设计）

（理工类）

题

目： 数学分析中不等式的证明方法与举例

专

业：

数学与应用数学

作 者

姓 名：

指导教师姓名：

指导教师职称：

2013年

月

长春师范大学本科毕业论文（设计）

长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书

本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名：

日期：

****年**月**日

长春师范大学本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书

本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名：

日期： 年 月 日

I

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目 录

承诺保证书…………………………………………………………………I 前言…………………………………………………………………………1 1 构造变限积分证明不等式………………………………………………1 2 利用函数单调性证明不等式……………………………………………2 3 利用微分中值定理证明不等式…………………………………………4 4 利用积分中值定理证明不等式…………………………………………6 5 利用泰勒公式证明不等式………………………………………………8 6 利用函数极值证明不等式………………………………………………9 7 利用函数凹凸性证明不等式……………………………………………11 8 利用幂级数展开式证明不等式…………………………………………12 9 利用著名不等式证明不等式……………………………………………13 参考文献……………………………………………………………………16 致 谢……………………………………………………………………17 英文摘要……………………………………………………………………18

II

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数学分析中不等式的证明方法与举例

摘要：不等式不仅是数学分析中非常重要的工具，同时也是数学分析研究的主要问题之一，然而不等式的证明方法却是复杂多变的，因此，对于不等式的证明方法进行系统的分类与总结仍具有很大的现实意义.本文首先简单介绍了不等式的研究背景，然后主要讨论了数学分析中证明不等式的若干方法，并对不等式的证明方法进行归类.同时，通过精选典型例题的证明，渗透了解不等式问题的多种解题技巧，深化了对不等式证明方法的认识，最终达到灵活应用的目的，以便于可以站在更高的角度来研究不等式.关键字：数学分析 不等式 证明方法.前言

不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到1934年, 数学不等式理论及其应用的研究才正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论，成为数学基础理论的一个重要组成部分.20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮.目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也取得了较丰富的成果.由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起了一系列广泛研究.综上所述, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达.构造变限积分证明不等式

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定义：设f(x)在[a,b]上可积，对任何x[a,b],f(x)在[a,x]上也可积，于是，由

a，x[a,b]，定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似地，又可

(x)f(x)dtx以定义变下限的定积分：

(x)f(x)dt, x[a,b],xb与统称为变限积分.定理：若f在[a,b]上连续，则其变限积分作为关于x的函数，在[a,b]上处处可导，且

更一般的有

dg(x)f(t)dtf[g(x)]g(x)f[h(x)]h(x).h(x)dxxbdd(f(t)dt)f(x)，(f(t)dt)f(x), dxadxx 例1.证明柯西不等式 [f(x)g(x)dx]f(x)dxg2(x)dx.aaab2b2b 证明：构造变上限辅助函数

(u)[f(x)g(x)dx]f(x)dxg2(x)dx.aaau2u2u显然(u)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

(u)2f(u)g(u)f(x)g(x)dxf2(u)g2(x)dxg2(u)f2(x)dx

aaauuu 2f(u)g(u)f(x)g(x)dxf2(u)g2(x)dxf2(x)g2(u)dxaaauuu

[f2(u)g2(x)2f(u)g(u)f(x)g(x)f2(x)g2(u)]dxauau

[f(u)g(x)f(x)g(u)]2dx0.所以(u)在[a,b]上单调减少，则(b)(a)0，即

(b)[f(x)g(x)dx]f(x)dxg2(x)dx0.aaab2b2b得到

[f(x)g(x)dx]f(x)dxg2(x)dx.aaab2b2b 2

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例2.设f(x)在[a,b]上连续，且单调递增，试证明

baabbxf(x)dxf(x).2at 证明：构造变上限辅助函数：

F(t)xf(x)dxaattf(x)dx.a2显然F(a)0，对t[a,b]，F(t)tf(t)1tatf(x)dxf(t)a22ta1tf(t)f(x)dx 22a1t f(t)f(x)dx, x(a,t).2a因为f(x)单调递增，则F(t)0，则F(t)单调递增，所以

F(b)F(a)0,(ba).因此



baxf(x)dxabbf(x).a22 利用函数单调性证明不等式

定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则有

(1)如果在(a,b)内f(x)0,那么,函数f(x)在[a,b]上单调增加.(2)如果在(a,b)内f(x)0,那么,函数f(x)在[a,b]上单调减少.例1.证明不等式：

ex1x，x0.证明： 设f(x)ex1x,则f(x)ex1，故当x0时，f(x)0，f(x)严格递增；当x0，f(x)0，f(x)严格递减.又因为f(x)在x0处连续，则当x0时，f(x)f(0)0.长春师范大学本科毕业论文（设计）

即

ex1x0.故得证

ex1x,x0.例2.证明ab1aba1ab1b.证明：记fxx1x，则f'x，所以单调递增，于0fx1x1x1x2是由abab知

f(ab)f(ab).即

ab1abab1aba1abb1aba1ab1b.3 利用微分中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理: 设函数f满足如下条件:(1)f在闭区间[a,b]上连续；(2)f在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得

f'()f(b)f(a).ba 柯西中值定理: 设函数f和g满足：(1)在[a,b]上都连续；(2)在(a,b)内都可导；(3)f(x)和g(x)不同时为零；

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(4)gagb，则存在a,b, 使得

f'()f(b)f(a) '.g()g(b)g(a)例1．设f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，且f(a)0，证明

|x[a,b]ba(ba)2f(x)dx|max|f(x)|.x[a,b]2 证明：令Mmax|f(x)|，由拉格朗日中值定理知

f(x)f(x)f(a)f()(xa).从而

|f(x)||f()(xa)|M(xa),x[a,b].所以

(ba)2 |f(x)dx||f(x)|dxM(xa)dxM.aaa2xln(1x)x.例2.当x0时,试证不等式1xbbb证明:构造函数

f(x)ln(1x).则在区间[0,x]上满足拉格朗中值定理,且

f(x)故有

ln(1x)ln1f()(x0),(0,x).1.1x即

ln(1x)x.1又(0,x), 则

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11xln(1x)xx.1x1即

xln(1x)x.1x 例3.设ae，0xy2，求证

ayax(cosxcosy)axlna.证明：令f(t)at，g(t)cost, 由题设条件可知，f(t),g(t)在[x,y](0xy)上满足柯西中值定理

f(x)f(y)f'().g(x)g(y)g'()则

axayalna,0xy.cosxcosysin()2故

ayax(cosxcosy)alna1.sin由于 0故 2，0sin1 , 则

11, sinayax(cosxcosy)alna(cosxcosy)axlna.由此得证

ayax(cosxcosy)axlna.利用积分中值定理证明不等式

积分第一中值定理：若函数f在[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]，使得

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f(x)dxf()(ba),(ab).ab 积分第二中值定理：设函数f在[a,b]上可积，若g为单调函数，则[a,b]，使得

baf(x)g(x)dxg(a)f(x)dxg(b)f(x)dx.ab 例1．设f(x)为[0,1]上的非负单调非增连续函数（即当xy时，f(x)f(y)），证明对于01,有下面的不等式成立

0f(x)dxf(x)dx. 证明：由积分第一中值定理有

f(x)dxf()()f()(),(11).从而

10f(x)f(2),(02).因此可得

0f(x)dxf()1f(x)dx.(1)f(x)dxf(x)dx.0即

(1)f(x)dx0又因01,所以01f(x)dx.1,故 f(x)dx0f(x)dx. 例2.设f(x)在[a,b]上连续，且单调递增，试证明

baxf(x)dxabbf(x)dx.a2 证明：要证该不等式只需证明

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bba(xab)f(x)dx0.2由于f(x)单调递增，利用积分第二中值定理，则存在[a,b]，使

a(xbababab)f(x)dxf(a)(x)dxf(b)(x)dx

a222 f(a)(xabbabab)dx[f(b)f(a)](x)dx 22b22ab[f(b)f(a)][(b)]22

b [f(b)f(a)](a)0.2故

即

ba(xab)f(x)dx0.2baabbxf(x)dxf(x)dx.2a利用泰勒公式证明不等式

定理:若函数f(x)在[a,b]上存在直至n阶连续导函数，在(a,b)内存在(n1)阶导函数,则对任意给定的x，x0[a,b]，至少存在一点(a,b),使得:

(n1)f(x0)f()2(xx0)(xx0)n1.f(x)f(x0)f(x0)(xx0)2!n!例1.设f(x)在[0,1]存在二阶连续导数，f(0)f(1)0，并且当x(0,1)时，f(x)A，求证：f(x)A，x(0,1).2证明:由于f(x)在[0,1]上有二阶连续导函，因此对任何x0(0,1)，利用f(1)和f(0)在x0点的二阶泰勒公式可得

f(1)f(x0)f'(x0)(1x0)f''(1)(1x0)2,1(x0,1).2!f''(2)2x0,2(0,x0).2!f(0)f(x0)f'(x0)(x0) 8

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由f(1)f(0)可得

f'(x0)又f(x)A,所以 f'(x0)2f''(2)2f''(1)x0(1x0)2.2!2!A2x0(1x0)2.2A.2而x0(0,1)时,x0(1x0)21，故f(x0)又由x0的任意性知

f(x)A，x(0,1)2x[a,b] 例2．设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数，Mmax|f(x)|，证明

|f(x)dx(ba)f(ababM)|(ba)3.224ab处泰勒展开 2ababab1ab2)f()(x)f()(x)，[a,b].f(x)f(22222bab两边在[a,b]上积分并注意到(x)dx0，得

a2bab1bab2)f()(x)dx.f(x)dx(ba)f(aa222 证明：将f(x)在x0从而得

baf(x)dx-(b-a)f(ab1)22baf()(xab2)dx 22M 2ab(x)dx a2bM(ba)3 .24利用函数极值证明不等式

极值的第一充分条件：设f在点x0连续，在某邻域U0x0;内可导.长春师范大学本科毕业论文（设计）

(1)若当x(x0,x0)时f(x)0,当x(x0,x0)时f(x)0,则f在点x0取得极小值.(2)若当x(x0,x0)时f(x)0,当x(x0,x0)时f(x)0，则f在点x0取得极大值.极值的第二充分条件：设f在x0的某邻域U(x0;)内一阶可导，在xx0处二阶可导，且f(x0)0，f(x0)0.(1)若f(x0)0，则f在x0取得极大值.(2)若f(x0)0，则f在x0取得极小值.例1.证明：当x0，n为自然数时，x0(tt2)sin2ntdt1.(2n2)(2n3)证明：构造辅助函数

f(x)(tt2)sin2ntdt.0x则

f(x)(xx2)sin2nx.当0x1时，f(x)0,当x1时，除xkk1,2,3,时f(x)0外，均有f(x)0，故f(x)在0x1时单调递增，在x1时单调递减，因此f(x)在0,上取最大值f(1).于是有f(x)f(1)(tt2)sin2ntdt

01 (tt2)t2ndt

01 (t2n1t2n2)dt

01  11 2n22n31.(2n2)(2n3)例2.设p1,求证：x[0,1]，都有不等式

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12p1xp(1x)p1.证明: 令F(x)xp(1x)p.有

F(x)=pxp1p(1x)p1(1)p[xp1(1x)p1].令F(x)0，则x而 1.2F(x)p(p1)xp2p(p1)(1x)p2.又因为p1, 故

F()p(p1)[()p2()p2]0.222111故F(x)在x处取得极小值，又因为F(1)F(0)1,F()P1.2221所以F(x)在区间[0,1]上的最大值为1，最小值为P1.2因此

12p1xp(1p)p1.利用函数凹凸性证明不等式

定义:设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2，和任 实数0,1总有

fx11-x2fx11-fx2, 则称f为I上的凸函数.反之，如果总有

fx11-x2fx11-fx2, 则称f为I上的凹函数.定理:设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要

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条件是

f(x)0（fx0），xI.xy)xlnxylny(x0,y0,xy).21(x0)，证明: 构造函数f(x)xlnx，这时,f(x)0,所以f(x)在(0,+

x例1.证明:(xy)ln(∞)上是凸函数.所以,x0,y0,xy时，有

f(xyf(x)f(y)).22即

故

(xy)ln(xy)xlnxylny(x0,y0,xy).2xyxyxlnxylnyln().222 例2：（著名的均值不等式）设aiR(i1,2,,n)求证：

a1a2an.n1 证明：设f(x)lnx(x0),则f(x)20.xna1a2an所以f(x)lnx在(0,)上为凹函数，则由凹函数性质可知

lna1lna2lnanaaan.ln12nn即

ln(a1a2an)ln1na1a2an.n即

na1a2ana1a2an.n利用幂级数展开式证明不等式

证明方法:根据几个重要的初等函数的幂级数展开式，如下：

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ex1x121xxn,x(,)； 2!n!sinxxcosx1131x(1)n1x2n1,x(,)； 3!(2n1)!121412nxx(1)nx,x(,)； 2!4!(2n)!11xx2xn,x(0,1)； 1xn1213n1xln(1x)xxx(1),x(1,1]． 23n 例1.当x(0,1)，证明 证明：因

1xe2x.1x1,e2x分别可写成幂级数展开式，有： 1x1x(1x)(1xx2xn)12x2x22xn,x(0,1)1x

e2x2222nn12xxx,x(0,1)．

2!n!n2n2nxn则不等式左边的一般项为2x，右边的一般项为，而当n3时2，n!n!所以，1xe2x,x(0,1).1x9 利用著名不等式证明不等式

柯西不等式：设ai,bi为任意实数（i1,,n）则

(aibi)aib2i，22i1i1i1nnn其中当且仅当ai,bi成比例时等号才成立.施瓦兹不等式：若f(x),g(x)在（a,b）上可积，则

(f(x)g(x)dx)f(x)dxg2(x)dx．

aaab2b2b 13

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若f(x),g(x)在（a,b）上连续，其中当且仅当存在常数,使得f(x)g(x)时等号才成立（,不同时为零）.詹森不等式：若f为[a,b]上凸函数，则对任意xi[a,b]，i0

(i1,2,,n)，i1，有

i1nf(ixi)if(xi).i1i1nn1n 例1.设aiR，i1，2，…，n．求证：a(ai)2．

ni1i12in证明 ：由柯西不等式

(ai)(ai1)(ai)(1)nai2．

222i1i1i1i1i1nnnnn两边同时除以n即得证．

例2.已知f(x)0，在[a,b]上连续，f(x)dx1,k为任意实数，求证

ab(f(x)coskxdx)(f(x)sinkxdx)21.aab2b证明:所要证明的式子左端第一项应用施瓦兹不等式

(f(x)coskx)2（abba2 f(x)(f(x)coskx)dx）f(x)dxf(x)cos2kxdx

aabb fxcos2kxdx.ab同理可得

(f(x)sinkxdx)2f(x)sin2kxdx.aabb两式相加得

(f(x)coskxdx)(f(x)sinkxdx)f(x)coskxdxsin2kxdx

aaaab2b2b2bf(x)dx1.ab即得证.长春师范大学本科毕业论文（设计）

例3.证明不等式

(abc)abc3aabbcc, 其中a,b,c均为正数.11.x 证明：设f(x)xlnx,(x0).则f(x)f(x)lnx1,f(x)1 x故f(x)xlnx在x0时为严格凸函数.依詹森不等式有

f(abc1)(f(a)f(b)f(c)).33从而

abcabc1ln(alnablnbclnc).333即

(abcabc)aabbcc.3又因3abcabc,所以 3(abc)abc3(abcabc)aabbcc.3即

(abc)abc3aabbcc.长春师范大学本科毕业论文（设计）

参考文献：

[1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社, 2006.[2] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[3] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[4] 钱吉林等主编.数学分析题解精粹.[M] 武汉：崇文书局，2011.[5] 蒙诗德.数学分析中证明不等式的常用方法[J].赤峰学院学报（自然科学 版），2009，25(9).[6] 贺彰雄.不等式证明的几种常见方法.湖北教育学报[J].2007，10(1).[7] 王晓峰，李静.证明不等式的若干方法.数理医药学杂志[J].2008.12(1).长春师范大学本科毕业论文（设计）

致谢

毕业论文设计的这段时间是我学生生涯中非常重要的时光之一.通过这次论文写作，我不仅学到了很多专业知识，而且我的其他能力方面都有一定提高.所以，借此论文结束之际，向所有帮助过我的人表示我最诚挚的敬意和感谢.本论文是在付老师的指导下和同学们的帮助下几经修改而完成的.所以,首先要感谢我的指导老师,我从她身上不仅学到了许多的专业知识，更感受到她在工作中的兢兢业业，生活中的平易近人.此外，她严谨的治学态度和忘我的工作精神更值得我去学习.同时，还要感谢我的同学,他们给我提供了很多有价值的材料和宝贵意见，所以我的论文才得以顺利完成.总之，衷心地感谢所有帮助过我的人！

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THE PROOF METHODS AND EXAMPLES OF INEQUALITY OF MATHEMATICAL ANALYSIS

Abstract Inequality is a very important tool in mathematical analysis.At the same time it is one of the main problems in the mathematical analysis study.But the methods are various.So the systemic claification and summary for the proof methods of inequality still has great practical significance.This paper first simply introduces the background of inequality ,then mainly discues the different proof methods of inequalities , and claifies the different proof methods.At the same time summarizes various skills in the inequality problem-solving by demonstrating some typical examples.It makes a better summary to master the method to prove inequality in mathematical analysis , ultimately achieve the purpose of flexible application.Key words Mathematical analysis;Inequation;Method.

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证明不等式的方法李婷婷摘要： 在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容。如何证明不等式呢？在本文中，我主要介绍了不等式概念、基本性质和一些从初等数学中总结出的证明不等式......

不等式的证明方法论文

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：不等式的证明方法院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范类） 年 级 2009级 学生姓名 杨家成 学生学号 200906034134 指导教师 向以华......

证明不等式方法

不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。 1比较法比较法是证明不等式的最基本方法......

不等式证明方法

不等式证明方法1.比较法 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称......