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不等式证明的方法与技巧
陈怡
不等式证明是不等式中的基本内容之一，也是其重难点所在。许多学生遇到不等式证明题不知所措，无从下手。因此，有必要从解题思路入手，总结一些不等式证明的方法、技巧以及在某些方法技巧中所体现的数学思想，使学生们在解题时有的放矢。除常见的综合法、分析法、反证法、放缩法及利用公式证明不等式外，本文另总结、归纳常见不等式证明方法技巧如下：
一、利用数列的单调性证不等式法：
我们常常用数学归纳证明含自然数n的不等式（这里不举例说明），然而，换一种角度，用数列的单调证性证此类不等式，更是简单明晰。例1．求证明：1＋证明：令：an ＝1＋则an－1＝11＋∴an－an－1＝＝
∴an＞an－
1即数列｛an｝递增
∴ 1＋例2．求证：1＋证明：令an＝1＋＋＋＋＋„＋＋„＋＋„＋
＋„＋＋－＞（n＞1）＋＋＋＋＋„＋＋„＋＋„＋－ ＞０ ＞－（n＞1）－ ＜2－（n≥2）－2＋ ＋ ＜0 －2＋(n≥)则an－1＝1＋＋∴an－an－1 ＝
＝－
∴an＜an－１＋＜„＜a2＝－＜0
∴1＋＋＋„＋＜2－
仔细分析上面两个例题，我们发现这里运用了转化的思想，其实是把难解的关 1
于自然数n的不等式证明问题，转化成了熟悉易解的求某数列的单调性问题。将未知归为已知，从而最终求得原问题的解决。下再举一例说明不等式证明中的转化思想。
例3．a、b、c∈R+，求证：＋＋≥（a＋b＋c）(分析：由左边的形式联想到复数的模，引入复数，不等式证明问题转化为复数问题。)
证明：令Z1=a＋bi，Z2=b＋ci，Z3=c＋ai
则 Z1＋Z2＋Z3=（a＋b＋c）＋(a＋b＋c)I
｜Z1｜＋｜Z2｜＋｜Z3｜≥｜Z1＋Z2＋Z3=｜ ∴＋＋≥（a＋b＋c）
二、不等量代换法
此法虽是“代换”，但不同于换元法。一般用于证明条件不等式，如能先求出一个适当的不等式进行代换，往往能简化证明过程。但在代换时，必须注意保持非严格不等式等号成立的条件的一致性。下面举例说明：
例12.若x＞0，y＞0，x+y =xy，试证：x4+y4≥
32证明：由x+y = xy，可得：
1=
+ ≥2
∴xy≥
4∴x4+y4≥2(xy)2≥2×42=32
当且仅当x=y=2时，等号成立。
例13.证明：
+
+≥2(+1)，其中0＜x＜ 证明：∵2sinxcosx≤sin22x+cos22x =
1∴sinxcosx≤
由0＜x＜
∴
≥
+
+ 知：
+
=2 + 2≥
+
当且仅当sinx=cosx时，即
x =时，等号成立。
三、函数法
比法主要利用函数的性质来证明不等式。解题关键就是构造出函数式，有些证明题中的函数式就是不等式中的一部分，有些则需根据待证不等式的特征，构造一个相应的函数。下面分别举例说明：
例14.设x为实数，求证： ≤
证明：选取不等式中
= y≤
整理得：（1-y）x2 +3x+5-y = 0
∵ x 为实数
∴△= 9-4(1-y)(5-y)≥0
解之得：
即：≤
≤ y ≤
≤
+≥
例15.设a∈R+，求证：
a +
证：由不等式左边特征得
a+
构造函数：
f(x)= x +≥2（a∈R+）（x≥2）(1)
易证：f(x)在区间[2，+∝]上单调递增，故当x = 2时，f(x)有最小值
2+
即
a ++≥
=。
四、配对法
在证明不等式时，我们根据其中某个式子的特征，给它配上一个合适的式子，使得由它们之间的某种运算，能产生一此特殊的结论，从而使证明问题得以解决。
例16.试下面不等基成立，··„„
证明：设
x = ··„„
y = ··„„
＜
则
xy = 又∵ 0＜x＜y∴x＜
xy =
∴x ＜
＜ 即：··„„
例17.设a1,a2 „，an∈R+，且a1+a2+„+an= 1 求证：令
F=
证明：
F = +++„+ +„
++ ≥ 构造它的配对式：
F'-F' =
++ „
+
+
=(a1－a2)+(a2－a3)+„+(an-1－an)+(an－a1)=0
故F = F'
又F+F' = 2F
=
≥
+
++ „
+ +„
+
+= a1 + a2 + „ + an-1 + an =1 ∴2F≥1
即F≥
木∴原不等式成立。
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