选修45不等式的证明方法及习题_基本不等式的证明习题

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不等式的证明方法

一、比较法

1.求证：x2 + 3 > 3x

2.已知a, b, m都是正数，并且a

ambm

ab

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a a2b3 + a3b

24.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m  n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

变式：若m = n，结果会怎样？

二：作商法

ab

1.设a, b  R，求证：aabb(ab)

+

2ba

ab

三、综合法

1.已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

a(bc)b(ca)c(ab)6abc

2.已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2 练习：

1求证：ab



(ab),a, b, c  R

2求证：a2b2

bc

ca

1a



1b

2(abc),a, b, c  R

1c)9

1)

3．a , b, cR,求证：1(abc)(2(abc)（1

abbcca

abc

33

bccaab2

3由上题：(abc)(∴1

cab

1

abc

1ab

b

1bc92



1ca)

92

bca



cab

32

1

ca

即

abc

四、分析法

例1求证372

5例2证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水练习：

1.已知a,b,c,d ∈R,求证:ac + bd ≤(a2b2)(c2d2)选择题

(1)若logab为整数,且loga>logablogba,那么下列四个结论中正确的个

b

数是（1b

>b>a2②logab+logba=0③0

答案:A

(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（）x1|>2且|x2|>2 x1+x2x1+x2x1|=4且|x2|=1 答案:B

(3)若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（）

1)xy1

答案:D

(4)若x>0,y>0,且x

y≤axy成立,则a的最小值是（）

答案:B

(5)已知a,b∈R+,则下列各式中成立的是（）

2θ·lga+sin2θ·lgb

2θ·lgb>lg(a+b)

cos2θ·bsin2θ=a+bcos2θ·bsin2θ>a+b

答案:A

+

(6)设a,b∈R,且ab-a-b≥1,则有（）

+b≥2(2+b ≤+b(2+1)

+b ≤2(2+1)

答案:A

用分析法证明:3(1+a

+a4)≥(1+a+a2)2用分析法证明:ab+cd ≤

a2c2 2

用分析法证明下列不等式:

(1)571(2)x1

x2

x3ab2



x

4(x≥4)

abc



(3)当a,b,c∈R+2（ab)3(abc)

若a,b>0,2c>a+b,求证:

(1)c2>ab

（2）c-c2ab

五、换元法

三角换元：

若0≤x≤1，则可令x = sin(0



2)或x = sin2(

2



2

若x2y21，则可令x = cos , y = sin(02若x2y21，则可令x = sec, y = tan(02若x≥1，则可令x = sec(0若xR，则可令x = tan( 代数换元：

2

2



2

“整体换元”,“均值换元”,例1求证：

xx



证一：（综合法）证二：（换元法）例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

1x1y

322

例3 若xy1，求证：|x2xyy|

例4证明：若a > 0，则a

1a

2a

1a

2

证：设xa

1a,y

a

1a,(a0,x2,y

2)

则xy

1

a

a12

a22

a

xya

1a

a

1a

22（当a = 1时取“=”）

∴xy

xyxy



22

22

即y2x2∴原式成立

六、放缩法与反证法

例1若a, b, c, dR，求证：

2

cdbdac

bcd

证明：（用放缩法）记m =

abdbcacdbdac

1

abd



bca

a





a

b

c

d

+

∵a, b, c, dR+∴m

a

abcdabcacdababcd

2m

ababcddc



b



c



ddabc

1

∴1

例2当 n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1 证明：（用放缩法）∵n > 2∴logn(n1)0,logn(n1)0

lognn2logn(n21)logn(n1)logn(n1)

∴logn(n1)logn(n1)1 222

∴n > 2时,logn(n1)logn(n1)1 例3求证：







1n

2

证明：（用放缩法）

1n

1n



1n(n1)

12



1n1

13



1n

1n1

1n

1n

∴



1122

例4设0

14,(1  b)c >

164

14,(1  c)a >

14,则三式相乘：(1  a)b•(1  b)c•(1  c)a >①

(1a)a

又∵0

2



同理(1b)b

14,(1c)c

164

将以上三式相乘(1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤∴(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于

此与①矛盾

例4已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0证明：（用反证法）设a 0,∴bc 0,则b + c >a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c)+ bc 0矛盾，∴必有a > 0 同理可证 b > 0,c > 0 练习

1．设x > 0, y > 0,a

xy1xy

x1xy, b

x1xy



y1yx1x，求证：a

放缩法：

xy1xy



1xy



y1y

2．lg9•lg11

lg9lg11lg992

放缩法：lg9lg111

222

3．logn(n1)logn(n1)1

lognn2logn(n21)

放缩法：logn(n1)logn(n1)

22

1

4．若a > b > c,则

1ab1n1



1ab



1bc



4ca

0

放缩法：

1n



1bc1

2

2

2(ab)(bc)(ab)(bc)

11n



4ac

5．

n2

1(nR,n2)



放缩法：左边

1n1

1n



1n



1n



12n

1n



1n



nnn

1

6．

n2

1

放缩法：

12n

n中式

1n1

n1

7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn

放缩法： ∵1，又a, b, c > 0, ∴,ccccabab

∴1 an + bn

cccc

n

n

n

bb

 cc

n2

8．设0 1,(2  b)a>1,(2  c)b>1,则(2  a)c(2  b)a(2  c)b>1„① 又因为设0

(2a)a

1,同理(2  b)b≤1,(2  c)c≤1,所以(2  a)c(2  b)a(2  c)b≤19．若x, y > 0，且x + y >2，则

1yx

和

1xy

中至少有一个小于2

反证法：设

1yx

≥2，1xy

≥2∵x, y > 0，可得x + y ≤2与x + y >2矛盾

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