竞赛专题讲座平面几何证明

第1篇：竞赛专题讲座平面几何证明

竞赛专题讲座平面几何证明

竞赛专题讲座平面几何证明

【竞赛知识点拨】

1． 线段或角相等的证明

（1） 利用全等△或相似多边形；

（2） 利用等腰△；

（3） 利用平行四边形；

（4） 利用等量代换；

（5） 利用平行线的性质或利用比例关系

（6） 利用圆中的等量关系等。

2． 线段或角的和差倍分的证明

（1） 转化为相等问题。如要证明a=bc，可以先作出线段p=bc，再去证明a=p，即所谓截长补短，角的问题仿此进行。

（2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

3． 两线平行与垂直的证明

（1） 利用两线平行与垂直的判定定理。

（2） 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的三线合一可证明垂直。

（3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

【分析1】构造两个全等△。

连结ED、AC、AF。

CF=DF△ACF≌△EDF

PAB=AEB=PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。

PFB=POB

注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

【例2】△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

【分析】只需证， PMPN=MSNT。

（2，4）△APM∽△PBN

PMPN=AMBN

（BNT=AMS，BTN=MAS）△BNT∽△SMA

MSNT=AMBN

【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：O1AO2=M1AM2。

【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，交O1O2于M，则C为P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2的中垂线。

在O1M上截取MO3=MO2，则M1AO3=M2AO2。

故只需证O1AM1=O3AM1，即证。

由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。

【例4】在△ABC中，ABAC，A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DEAB于E，求证：AE=。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA

DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC

DFA=DAF=DAG。

方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG

连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG

DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。

【例5】ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。

求证：线段PM为圆心到ABC平分线距离的2倍。

【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。

若角平分线不过O，则延长DO至D，使OD=OD，则只需证DD=PM。连结DP、DM，则只需证DMPD为平行四边形。

过O作mPK，则DD,KP，DPK=DKP

BL平分ABC，MKBLBL为MK的.中垂线DKB=DMK

DPK=DMK，DP∥DM。而D D∥PM，

DMPD为平行四边形。

【例6】在△ABC中，AP为A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BHAP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。

倍长中线：延长AM至M，使AM=MA，连结BA，如图6-1。

PQ∥AB

ABQ=180HBA+BAH+CAP)= 180-90CAP=90BAP=ABQ

方法2、结合角平分线和BHAH联想对称知识。

延长BH交AC的延长线于B，如图6-2。则H为BB的中点，因为M为BC的中点，连结HM，则HM∥B/C。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M，使OM=OM，连结MA、MB，则AMBM是平行四边形，

MP∥AM，QM∥BM。于是，，所以PQ∥AB。

【例7】菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

求证：MQ∥NP。（95年全国联赛二试3）

【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证AMQ=CPN，

结合C知，只需证△AMQ∽△CPN，AMCN=AQCP。

连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=，MOK=，KON=，则

EOM=，FON=，EOF=2+2=180。

BON=90NOF-COF=90-=

CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM

又OCN=MAO，△OCN∽△MAO，于是，

AMCN=AOCO

同理，AQCP=AOCO。

【例8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KPAB。

【分析】延长KP交AB于L，则只需证PAL+APL=90，

即只需证PDC+KPC=90，只需证PDC=PKF，

因为P、F、K、E四点共圆，故只需证PDC=PEF，即EF∥DC。

△DME∽△CNF

【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AMBC。

【分析】连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AHBC。（同一法）

设AHBC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。

OM1∥DFOM1=。

OM2∥EGOM2=。

只需证OGDF=EGOF，即Rt△OEG∽Rt△ODFDOF=DHB=EHC=EOG。

[标签：推理与证明,几何,几何问题,讲座]

第2篇：高中竞赛专题：平面几何证明

竞赛专题－平面几何证明

[竞赛知识点拨]

1． 线段或角相等的证明（1）利用全等△或相似多边形（2）利用等腰△3）利用平行四边形（4）利用等量代换（5）利用平行线的性质或利用比例关系（6）利用圆中的等量关系等。

2． 线段或角的和差倍分的证明（1）转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。（2）直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

3． 两线平行与垂直的证明（1）利用两线平行与垂直的判定定理。（2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。

从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE

平分CD。

【分析1】构造两个全等△。连结ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB【分析2】利用圆中的等量

关系。连结OF、OP、OB

。←∠PFB=∠POB←←

注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

【例2】△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作

OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

【分析】只需证，PM²PN=MS²NT。（∠1=∠2，∠3=∠4）

→△APM∽△PBN→→PM²PN=AM²BN（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA→→MS²NT=AM²BN

【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q

2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，交O1O2于M，则C为P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2的中垂线。在O1M上截取MO3=MO2，则

∠M1AO3=∠M2AO2。故只需证∠O1AM1=∠O3AM

1，即证

。由

△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

← 在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

方法

2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG← 连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

【例5】∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。

【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。若角平分线不过O，则延长DO至D‘，使OD’=OD，则只需证DD‘=PM。连结D’P、DM，则只需证DMPD‘为平行四边形。过O作m⊥PK，DD’,K

P，∴∠DPK=∠DKP，BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK中垂线→∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’

D∥PM，∴DMPD‘为平行四边形。

【例6】在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

【分析】方法

1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。倍长中线：延长AM至

M’，使AM=MA‘，连结BA’，如图6-1。

PQ∥AB←←←

←∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)=

180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

方法

2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。延长BH交AC的延长线于B’，如

/

图6-2。则H为BB‘的中点，因为M为BC的中点，连结HM，则HM∥BC。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M’，使OM‘=OM，连结M’A、M‘B，则

AM’BM是平行四边形，∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，所以PQ∥AB。

【例7】菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求证：MQ∥NP。（95年全国联赛二试3）

【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，结合∠A=∠C知，只需

证△AMQ∽△CPN←，AM²CN=AQ²CP。连结AC、BD，其交点为内切圆心O。

设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是同理，AQ²CP=AO²CO。，∴AM²CN=AO²CO

【例8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KP⊥AB。

【分析】延长KP交AB于L，则只需证∠PAL+∠APL=90°，即只需证∠PDC+∠KPC=90°，只需证

∠PDC=∠PKF，因为P、F、K、E四点共圆，故只需证∠PDC=∠PEF，即

EF∥DC。

←

←←△DME∽△CNF

【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。

【分析】连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AH⊥BC。（同一法）设AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。

OM1∥DF→

→OM1=

。OM2∥EG→

→OM2=

。只需

证OG²DF=EG²OF，即

←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。

第3篇：解析法证明平面几何题—高二中数学竞赛讲座

【高中数学竞赛讲座2】

解析法证明平面几何

解析法，就是用解析几何的方法来解题，将几何问题代数化后求解，但代数问题未必容易，采用解析法就必须有面对代数困难的准备，书写必须非常规范．

解析法的主要技巧：

1．尽量化为简单的代数问题，尽量利用对称性建系，选择恰当的坐标系与便于使用的方程形式；

2．运用各种代数技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、证明：任意四边形四条边的平方和，等于两条对角线的平方和，在加上对角线中点连线的平方的4倍．

例

2、给定任一锐角三角形ABC及高AH，在AH上任取一点D,连结BD并延长交AC 与E,又连CD且延长交AB于F.证明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1，u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取点D1,使11（，u，m，n都是实数）．延长A1D交BC于D，求

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第4篇：高考：平面几何证明

2012高考：几何证明

1、（2012全国课标，22）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

（I）CDBC；

（II）△BCD∽△GBD；

GEFB2、（2012广东，15）如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA

P

第2题图第3题图

3、（2012江苏，21-A）如图，AB是圆O直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BDDC，连接AC，AE，DE，求证EC。

4、（2012辽宁，22）如图，圆O和圆O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆与C，D两点，连接BD并延长交圆O于点E，证明：

（I）ACBDADA

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第5篇：高考平面几何证明

2011高考平面几何证明试题选讲

1（2011安徽）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为

AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为（2011北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

1AD+AE=AB+BC+CA； ○

2AF·AG=AD·AE ○

③△AFB ～△ADG

其中正确结论的序号是

（A）①②（B）②③

（C）①③（D）①②③（2011天津理）如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线

上一点，且DFCFAF:FB:BE4:2:1.若CE与圆相切，则CE的长为

_________

4（2011陕西理）（几何证明选做题）如图，BD,AEBC,AC

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