《平面向量的坐标运算》教案设计

第1篇：《平面向量的坐标运算》教案设计

《平面向量的坐标运算》教案设计

《平面向量的坐标运算》教案设计

一．复习目标：

1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条；

2．学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。

二．主要知识：

1．平面向量坐标的概念；

2．用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；

3．会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的`坐标及动点的轨迹问题．

三．前预习：

1.若向量 ,则 （ ）

2．设 四点坐标依次是 ，则四边形 为 （ ）

正方形 矩形 菱形平行四边形

3．下列各组向量，共线的是 （ ）

4.已知点 ,且有 ,则 。

5．已知点 和向量 = ,若 =3 ,则点B的坐标为 。

6.设 ,且有 ,则锐角 。

四．例题分析：

例1．已知向量 ， ，且 ，求实数 的值。

小结：

例2．已知 ，

（1）求 ；（2）当 为何实数时， 与平行，平行时它们是同向还是反向？

小结：

例3．已知点 ,试用向量方法求直线 和 （ 为坐标原点）交点 的坐标。

小结：

例4．已知点 及 ,试问：

（1）当 为何值时, 在 轴上? 在 轴上? 在第三象限?

（2）四边形 是否能成为平行四边形?若能,则求出 的值.若不能,说明理由。

小结：

五．后作业：

1． 且 ，则锐角 为 ( )

2．已知平面上直线 的方向向量 ，点 和 在 上的射影分别是 和 ，则 ，其中 （ ）

3．已知向量 且 ，则 = ( )

4．在三角形 中，已知 ，点 在中线 上，且 ，则点 的坐标是 ( )

5．平面内有三点 ，且 ∥ ，则 的值是 （ ）

6．三点 共线的充要条是 （ ）

7．如果 , 是平面 内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是 （ ）

若实数 使 ，则

空间任一向量 可以表示为 ，这里 是实数

对实数 ，向量 不一定在平面 内

对平面内任一向量 ，使 的实数 有无数对

8．已知向量 ， 与 方向相反，且 ，那么向量 的坐标是_ ____.

9．已知 ，则与平行的单位向量的坐标为 。

10．已知 ，求 ，并以 为基底表示 。

11.向量 ,当 为何值时， 三点共线？

12．已知平行四边形 中，点 的坐标分别是 ，点 在椭圆 上移动，求 点的轨迹方程.

第2篇：平面向量的坐标运算 教案

平面向量的坐标运算 教案

一、教学目标

1、知识与技能：

掌握平面向量的坐标运算；

2、过程与方法：

通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。3情感态度与价值观：

学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。

二、教学重点与难点

教学重点：平面向量的坐标运算。

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确.三、教学设想

（一）导入新课

思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？

思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量OA=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗? ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

图1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量AB的模与向量OP的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: |AB|=|OP|=(x1x2)2(y1y2)2.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题

①如何用坐标表示两个共线向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y2是向量a、b共线的什么条件? x1x2活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2), xx2,即1消去λ后得x1y2-x2y1=0.y1y2.这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与

y1y2是不等价的.因x1x2为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy2均无意义.因此12是向量a、bx1x2x1x2共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题

a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb, 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？

活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,x1x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.y1y2.讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.教师应向学生特别提醒感悟: 1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.2°充要条件不能写成y1y2(∵x1、x2有可能为0).x1x2ab3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0)

x1y2x2y10.（三）应用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量ab

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全国高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b„()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

图2 例2 如图2,已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D的坐标为(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得13x,(1,2)=(3-x,4-y).∴

24x.x2,∴ y2.∴顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知

BDBAADBABC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练

图3 如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6);当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直线AB、直线AC有公共点A, ∴A、B、C三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当

P1P=λPP2时,点P的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),x1x2x,xx1(x2x)1即 yy1(y2y)yy1y2.1这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4 解:(1)如图4,由向量的线性运算可知

xx2y1y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以点P的坐标是（x1x2y1y2,.)22(2)如图5,当点P是线段P1P2的一个三等分点时,有两种情况,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

图5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1x22y1y2,).332x1x22y1y2,).33即点P的坐标是(同理,如果

x2x2y12y2P1P,.=2,那么点P的坐标是133PP2点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练

在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解:(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上, 设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得

3xy50,0, 22∴x=-3,y=-5, 即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+tAB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).3t1021若点P在第二象限,则t

333t2021,).33点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练 故t的取值范围是(已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范围.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范围是［2,6］.222 7

（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.（五）作业

第3篇：平面向量的坐标运算教案

“平面向量的坐标运算”教学方案

教学目标：

1.知识与技能：

理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。2.过程与方法：

在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。3.情感、态度与价值观：

通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：

平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：

平面向量坐标表示的意义。教学方法：

结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：

投影仪、多媒体软件 教学过程 1.情境创设

教师借助多媒体动画演示人站在

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第4篇：《平面向量的坐标运算》教学设计

《平面向量的坐标运算》教学设计

【教学目标】

1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；

2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；

3．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；

4．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.【重点难点分析】

本节的重点理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件的坐标表示．向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种方法．

本节的难点是对平面向量坐标表示的理解．向量的坐标表示

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第5篇：高一数学54平面向量的坐标运算

5．4平面向量的坐标运算

知识要点精讲

知识点1平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj ①

我们把（x，y）叫做向量a的直角坐标，记作：a＝（x，y）②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示，与a相等的向量的坐标也为（x，y）．

解题方法、技巧培养

出题方向1 求向量的坐标

（1）已知A（1，3），B（－3，2），求a的坐标；

（2）已知A（2，－1），a＝（4，1），求B点坐标；

（3）已知B（－1，2），a＝（5，－2），求A点坐标．

点拨 只有起点在坐标原点的向量才能用终点坐标表示，其它向量的坐标都要用其终点坐标减去其起点坐标表示．

出题

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第6篇：平面向量的坐标运算教案1[定稿]

平面向量的坐标运算教案1

教学目标

1．理解平面向量的坐标表示方法，包括起点是坐标原点的向量坐标表示法，起点不是坐标原点的向量坐标表示法、相等向量的坐标表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示法．

教学重点和难点

重点：平面向量的坐标表示法，特别是起点不是坐标原点的向量坐标表示法．平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标运算．

难点：起点不是坐标原点的向量的坐标表示．

教学过程设计

(一)复习近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任

＝λ

1，有且只有一对实数λ

1、λ2，使、λ

2．这里、表示这一平面内的一组基底．平面向量的基本定理说明：同一平面内任一向量都可沿两个不共线的基底进行分解．

(二)导入新课

1．平面向量的坐标表示

在直角坐标平面内，分别取与x轴

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第7篇：平面向量线性运算

已知向量共线，求参数的值

三点共线问题

证明三点共线的常见方法有

1.证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度

2.利用斜率

3.利用直线方程即由其中两点求出直线方程，再验证第三点在这条直线上

4.利用向量共线的条件

方法4是最优解法

求点或向量的坐标

求两向量的夹角

证明两个向量垂直

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第8篇：《平面向量》教案设计

《平面向量》教案设计

作为一名优秀的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。那么你有了解过教案吗？下面是小编精心整理的《平面向量》教案设计，希望能够帮助到大家。

《平面向量》教案设计1

课时5平面向量基本定理

【学习目标】

1．掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

2．能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。

【知识梳理】

若 ， 是不共线向量， 是平面内任一向量

在平面内取一点O，作 = ， = ， = ，使 =λ1 =λ2

= = + =λ1 +λ2

得平面向量基本定理：

注意：1? 、 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2? 这个定理也叫共面向量定理

3?λ1，λ2是被 ， ， 唯一确定的实数。

【例题选讲】

1．如图，ABC

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