高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理)._平面向量必修四例题

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平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a。2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||AB 或||a。3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。

4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。

7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB-=(指向被减数 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b-。

10.共线定理://a b a b λ=⇔。当0λ>时,a b 与同向;当0λ

12.向量的模:若(,a x y =,则2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ⋅=⋅;cos ||||a b a b θ⋅=⋅

14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=;121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=

题型1.基本概念判断正误:(1共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。(5若AB CD =,则A、B、C、D 四点构成平行四边形。(6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。(8若ma mb =,则a b =。(9若ma na =,则m n =。

(10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量。(11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b。(12若||||a b a b +=-,则a b ⊥。题型2.向量的加减运算

1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b +=。2.化简((AB MB BO BC OM ++++=。

3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为、。4.已知AC AB AD 为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD =。5.已知点C 在线段AB 上,且3

5AC AB =,则AC = BC ,AB = BC。题型3.向量的数乘运算

1.计算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,则1 32a b-=。

题型4.作图法球向量的和

已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和3 22a b-。a b 题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ,表示AD。2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。题型6.向量的坐标运算

1.已知(4,5AB =,(2,3A ,则点B 的坐标是。2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,则点Q 的坐标是。

3.若物体受三个力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,则合力的坐标为。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。

5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,则DA =。

7.已知O 是坐标原点,(2,1,(4,8A B--,且30AB BC +=,求OC 的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e--和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e-和

2.已知(3,4a =,能与a 构成基底的是(A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55--D.4(1,3--题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标。2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标。题型9.求数量积

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1a b ⋅,(2(a a b ⋅+,(31(2 a b b-⋅,(4(2(3a b a b-⋅+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ⋅,(3(2a a b ⋅+,(4(2(3a b a b-⋅+。题型10.求向量的夹角

1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角。

2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 与b 的夹角。3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。题型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。

3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。题型12.求单位向量 【与a 平行的单位向量:||a e a =±】

1.与(12,5a =平行的单位向量是。2.与1(1,2m =-平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 为何值时,向量ka b +与3a b-垂直?(2k 为何值时,向量ka b +与3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证:(a b c ⊥-。题型14.三点共线问题

1.已知(0,2A-,(2,2B ,(3,4C ,求证:，A B C 三点共线。

2.设2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证:A B D、、三点共线。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若点(21,2C a a-+在直线AB 上,求a 的值。

5.已知四个点的坐标(0,0O ,(3,4A ,(1,2B-,(1,1C ,是否存在常数t ,使O A t O B O C +=成立? 题型15.判断多边形的形状

1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是。2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,证明四边形ABCD 是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C ,求证:ABC ∆是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内,(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求证:ABC ∆是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知(1,0a =,(2,1b =,当k 为何值时,向量ka b-与3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标。3.已知a b 与同向,(1,2b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,则c = a + b。

4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,请将用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围;(2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1a 与b 的夹角为钝角?(2a 与b 的夹角为锐角?

7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2A-,(3,4B ,(2,1D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标。

8.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1，B(1,3，C(3, 4，求第四个顶点 D 的坐标。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求 水流速度与船的实际速度。10.已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4，B(0, 0，C(c, 0，（1）若 AB  AC  0，求 c 的值；（2）若 c  5，求 sin A 的值。【备用】 1.已知 | a | 3,| b | 4,| a  b | 5，求 | a  b | 和向量 a, b 的夹角。2.已知 x  a  b，y  2a  b，且 | a || b | 1，a  b，求 x, y 的夹角的余弦。1.已知 a (1,3, b (2, 1，则(3a  2b (2a  5b 。4.已知两向量 a (3, 4, b (2, 1，求当 a  xb与a  b 垂直时的 x 的值。5.已知两向量 a (1,3, b (2, ，a与b 的夹角  为锐角，求  的范围。变式：若 a (, 2, b (3,5，a与b 的夹角  为钝角，求  的取值范围。选择、填空题的特殊方法： 1.代入验证法 例：已知向量 a (1,1, b (1, 1, c (1, ，则2 c （1 3 A. a  b 2 2 1 3 B. a  b 2 2 3 1 C.a  b 2 2 3 1 D. a  b 2 2）变式：已知 a (1, 2, b (1,3, c (1, 2，请用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 M 是 ABC 的重心，则下列向量与 AB 共线的是（A.AM  MB  BC B.3 AM  AC C.AB  BC  AC）D.AM  BM  CM 6

广东省近八年高考试题-平面向量（理科）1.(2007年高考广东卷第10小题 若向量 a、b 满足| a |=| b |=1，a 与 b 的夹角为 120，则 a a  a b  2.(2008 年高考广东卷第 3 小题 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，则 2 a + 3 b =（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009 年高考广东卷第 3 小题（x,1），b= 已知平面向量 a=，则向量 a  b =（（－x, x 2）．）C.（－3，－6）D.（－2，－4））A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线       c =(3,x满足条件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考广东卷第 5 小题若向量 a =（1,1），（2,5），则x=(A．6 B．5 C．4 D．3 6.(2011 年高考广东卷第 3 小题已知向量 a (1, 2, b

(1,0, c (3, 4 ．若  为实数,(a  b / / c, 则 (B.1 2 A． 1 4 C.1 D.2 7.(2012 年高考广东卷第 3 小题 8．若向量 BA (2,3，CA (4,7，则 BC （A．(2, 4 B．(3, 4 C．(6,10）D．(6, 10 9.(2012 年高考广东卷第 8 小题对任意两个非零的平面向量  , ，定义

    ．若平面

    n 向量 a, b 满足 a  b  0，a 与 b 的夹角    0, ，且

 和

 都在集合 | n  Z 中，则

 4 2  b a A． 1 2 B． 1 C． 3 2 D． 5 2 7 10.（2014 广东省高考数学理科 12）已知向量 a  1,0, 1则下列向量中 , 与 a 成 60  夹角的是 A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8

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