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谈数与形的结合中小学教学中蕴藏着的数形结合思想
［摘要］ 数形结合，是数学教学中常用的一种方法，它能使复杂的问题简单化，抽象的事物直观化，教师讲解容易，学生也易于理解。数形结合有利于数感的培养，有利于算理的讲解，有利于思维的培养，有利于空间观念的形成。本文揭示了在小学数学中的数感，算术，思维和三维模型与初中数学的有理数、应用题、不等式、函数及其图象、统计初步、平面几何内容中所蕴藏着的数形结合思想。［关键词］数形结合 数感算理 思维 空间观念
谈数与形的结合中小学教学中蕴藏着的数形结合思想
数学家华罗庚说得好:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”.数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。随着新课程改革全面展开,各门课程的教材都发生着巨大的改变。面对改头换面的数学新教材,我们发现章节顺序变了,知识点重新整合了，书也变漂亮了,图形变多了，以前的数学课程被分为“代数”和”几何”两本教材来讲授,而现在合二为一,且教学中几何图形所占的比重有所增加。“代数”主要研究数据的计算与处理, “几何”主要研究图形的位置、大小等特性, “数”和“形”是数学研究的两个侧面,它们互相渗透，相互转化,使得以代数法研究几何,以几何法研究代数成为可能。“数形结合”是初中数学的重要思想之一,也是学好数学的关键之一。若能把“数”与“形”很好的结合起来,那么一些看似复杂的问题会迎刃而解。掌握了此方法也会使解题手段从“单一”走向“灵活”,体会到数学之美，从而感叹数学之精妙。
青少年生活在社会和物质的世界中，周围环境中形形色色的物体均表现为一定的数量、形式，并以一定的空间形式存在着。从青少年心理学分析，他们善于运用直觉形象思维来解决问题，数学抽象思维是建立在大量的已知的形象思维的基础上而形成的。翻开新课程数学教材，一道道解决问题的应用题里的一组组对话，运用了漫画的小人书表现形式来表达，无论学生会不会解答，他们都把它当作好看的小人书来研究一番，这比老教材的单纯应用题能更吸引学生，这是一大进步。有了象漫画一样的解决问题的应用题学生也来兴趣了，解答时研究的印象也深刻了，更能接受老师、同伴的解决思路。
数形结合就是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的方法的一种重要数学思想，着重借助图形来解题，以其直观、形象、简捷的形式来吸引学生。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观 2 地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。在新课程的数学教学中，数形结合的作用非常大，可以说是数学课堂中必不可少的教学手段。
如何把解决问题的应用题解决方法进一步提炼成简单易懂的，直观的数形形式呢？这就要求结合数形图来分析。
一、数形结合突出了数感的建立
数是抽象的数学知识，形是具体实物、图形、模型、学具。数和形是紧密联系的。数形对应是数形结合的基础，这种意识的养成主要是通过新授课阶段的学习逐步领悟和掌握的。学生只有先从形的方面进行形象思维，通过观察、操作，进行比较、分析，在感性材料基础上进行抽象，才能获得数的知识。所以在低年级的数学课堂教学中，数形结合是常用的手段之一，因为它能有效地为毫无数字概念的孩子建立数感。一般认为20以内甚至100以内的数学生大多会读会写，因此往往忽视教学过程中的动手操作。事实上，操作恰恰是生成数感的有效途径。
例如在教学20的认识时，教师既要演示又要请学生亲自动手用摆小棒的方法从11数到19，然后用稍稍缓慢的动作清楚地演示出19根小棒添上1根是1捆加十个1个，再将10个1根捆成1捆，这样就是2捆，即2个10根，也就是20根。这样的过程使学生清楚地感受到20是在19的基础上添上1生成的，这对后面30、40、50等整十数的认识有很强的提示作用。而100的认识更要让学生通过数小棒经历99添上1就是10个十，10个十是1个百即100的生成过程，从而体会两位数向三位数的变化，明白数位的顺序及各数位的价值。物和数的对应加深了学生对数的理解，突出了学生数感的培养。
二、数形结合突出算理讲解。
在数学教学中，加强数与图形的结合，能加深学生对知识的理解，能有效防止学生学习数学“一知半解”,防止出现“隔靴搔痒”的教学现象。应用数形结合，是解决问题过程中的一种策略，是数学规律性、灵活性的融合。教师应帮助学生通过具体问题的解决，归纳出知识的系统性和规律性，并在此基础上拓宽延展，使学生的思维能力不滞留在某一局部上而是获得更长足的发展，让学生积极主动地建构有序的良好的知识组块，增强了建构功能。
例如在学生学习“乘法的意义”时，因为同一意义可以表示两种乘法算式，而同一算式有两种不同含义，如果在教学过程中，不注意数形结合，学生对乘法 3 意义的理解往往处于“一知半解”状态。如一共有多少个五角星？在看图的基础上，学生能理解：横看，得到5＋5＋5，可以表示成5×3或3×5，竖看，得到3＋3＋3＋3＋3，可以表示成3×5或5×3。但是，如果问学生：3×5、5×3表示什么？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊地表述3×5既表示3个5连加，也表示5个3连加。但实际上3个5连加和5个3连加是不一样的意义，所以，此时老师应强调结合图形看，3个5连加应怎样看?(横看)5个3连加又应该怎样看？（竖看）说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？通过数与形的一一对应，来加强学生对乘法算式所表达意义的理解，加强算理的教学。
三、数形结合突出了思维训练。
在具体实施“数形结合”时，我们常常是由“形”观察“数”，由“数”构造出“形”，这中间的“观察”与“构造”并未进行严格的逻辑推理。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，帮助我们复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。在教学中，把数和形结合起来分析，引导学生既从数的方面用分析的方法进行抽象思维，又从形的方面进行整体思考，通过类比、联想、想像进行形象思维，能达到思维训练的要求。
例如百分数应用涂教学，参加乒乓球兴趣小组的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的2/3。问后来又加入男生多少人？先把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译成：若把原来的总人数80人看作5份，则男生占3份，女生占2份，因而推知现在的总人数为6份，加入的男生为6—5=1份，得加入的男生为80÷5=16（人），从这题不难看出：“数”、“形”互译的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要而巧妙。
四、数形结合突出了三维模型的建立。
为了使数学上的奇异美、对称美、和谐美、内容美在图形上的体现更为直观、更为动人，应用数形结合能不断培养学生的审美情趣，提高审美意识和鉴赏力，有利于空间观念的建立。空间观念是物体的形状、大小、长短和互相位置关系的 4 表象，要培养和发展学生的空间观念，教学时就一定要联系实际，让学生看到具体的形。
例如在教学长度单位的认识时，使学生获得长度单位1厘米的表象，学生要先用直尺量图钉、手指，1厘米大约是1只图钉长，食指的宽大约是1厘米；要使学生获得面积单位1平方厘米的表象，就让学生先用边长是1厘米的正方形量一量大拇指的指面，大拇指的指面大小大约是1平方厘米，通过这样在实际中量一量，比一比，1厘米的长短，1平方厘米的大小就在学生大脑中留下了表象，形成了空间观念。
九年制义务教育初中《数学教学大纲》中也把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，相映生辉。
一、有理数内容体现的数形结合思想
数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
二、应用题内容隐含的数形结合思想
列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一 5 难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，九义教材《代数》第一册（上）的“4.4 一元一次方程的应用”内容中的例3（行程问题）、例4（追击问题）、例5（劳动力调配问题）、例6（工程问题）、例7（浓度问题），教学中,老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。
三、不等式内容蕴藏着数形结合思想
九义《代数》第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。
四、函数及其图象内容凸显了数形结合思想
由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。
五、几何图形的拼接体现了数形结合思想
初三教学中增加了新的一节内容>,看似几何图形的拼接问题,但它的基础却是计算。由一种正多边形的内角是否360 的约数,否则不能镶嵌。而当两种或三种不同的正多边形镶嵌时,由于不同图形的内角的不同以及数量比的可变性。计算就更不可少了,如两种正多边形镶嵌时,需要计算若干个两种不同的内角能否凑成360。有了计算为基础,我们才能通过画图或拼图得到美丽的镶嵌图案。而且同一个计算结果,由于不同正多边形的位置不同,得到的图案可不一定相同。
总之，在新课程的解决问题的编排中，我看到了数形结合教学的重要性，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体 6 化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。
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年 1988后记
“数以形而直观，形以数而入微”我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述。数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，使在初中数学中也常在研究函数的性质，求解函数的有关问题。一些复杂的代数问题，如果用数形结合的思想来求解的话，就能够简单的多了。运用数形结合的方法解决问题，首先要揭示代数问题的几何含义，把代数问题转化成几何问题；然后将符合题设条件的几何图形画出来；最后对直观的几何图形进行观察、思考使我们可以更清晰的找出问题的症结。因此，在许多代数问题的求解中，通过几何图形与严密的多项式整理、抽象论证的和谐统一，能够为我们提供十分理想的解决问题的方法。
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