平面向量的数量积及应用教学设计[推荐]_平面向量数量积的教案

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平面向量的数量积及应用教学设计

华罗庚中学 袁劲竹

一、教材分析

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《平面向量的数量积及应用》，计划安排两个课时，本节课是第2课时。也就是，在复习了平面向量数的有关概念，坐标表示，以及平面向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握平面向量数量积及平面向量的相关应用。

二、课标要求

1、平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

三、命题走向及高考预测

通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容。

预测高考：

预测2012年广东高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向。

四、学情分析

学生已复习了向量的相关概念、线性运算、数量积及初步应用，已较好地理解了向量的概念，比较熟练地掌握向量的运算和性质，已初步体会研究向量运算的一般方法，具有一定的观察、探究能力，这为学生进一步复习数量积数量积及应用做了铺垫。由于本班是普通班，受实数乘法运算的影响，造成不少学生对数量积理解上的偏差，从而出现错误。

五、教学目标

知识目标：

1、掌握平面向量的数量积公式及向量的夹角公式；

2、运用平面向量的知识解决有关问题。

能力目标：

1、通过本节课的学习培养学生观察、分析、化归转化的能力；

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

六、教学重点、难点

重点：平面向量数量积公式及平面向量的应用。

难点：如何将有关问题等价转化为向量问题。

七、教法、学法分析

教法：采取启发引导、反馈评价等方式；

学法：引导学生积极参与、自主探索，培养探究能力。

八、教学过程

【 基本知识点回顾 】

1、向量的数量积的概念

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b的数量积。

2、数量积的性质(e是单位向量，〈a，e〉＝θ)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝__________.特别

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b⇔__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、数量积的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，则|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|BA|＝____________________.(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_____________________.4、向量的应用

（1）平面向量数量积的运算

（2）利用平面向量数量积解决平行与垂直问题（3）利用平面向量数量积解决夹角问题

（4）平面向量的综合运用

注：本节课是第2课时，重点学习（3）利用平面向量数量积解决夹角问题和（4）平面向量的综合运用，其中平面向量的综合运用主要是在三角函数中的应用，在立体几何、解析几何等方面的应用放在后面学习。

【典例剖析】

应用3：利用平面向量数量积解决夹角问题

11例

1、(2011年广州调研)已知a1，ab，(ab)(ab)，求： 22（1）a与b的夹角的大小;(2)ab与ab夹角的余弦值

思路分析（先提问学生，然后板演解题过程）：利用向量夹角的余弦公式求解

设计意图：让学生分析解题思路以培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。让学生上台板演可以暴露学生存在的问题，老师及时予以纠正，并呈现标准的解答格式，促使学生自我反思，以加强学生答题的规范性，做到“会做的题目得满分，不会做的题目不得零分”。

【巩固练习】

（1）（09重庆理）已知A、6

a

1、b6且a(ba)2，则向量a与b的夹角是（）

 B、C、D、4322

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(2（）2010年高考课标全国卷）则a，b夹角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、65656565a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

设计意图：选用的两道题中，一道题向量是非坐标形式的，另一道题向量是坐标形式的，通过练习，让学生学会选用适当的公式解题，巩固所学知识。同时，让学生多参与、多思考、多活动，改变教师大段讲解的倾向，使师生活动交替进行，调节学生的注意力，促进学生各方面的发展。

题后小结：

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．(2)若已知a与b的坐标，则可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

应用四：平面向量的综合运用

sin)，c(1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a(cos，b(cos，sin)，0)．（1）求向量b+c的长度的最大值；

（2）设 π4，且a⊥(bc)，求cos的值．

设计意图：通过典例精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、解决问题的能力。

【自主探究、共同提高】



1、(06天津理)设向量a与b的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_____

02、已知两单位向量a与b的夹角为120，若c2ab，dba，试求c与d的夹角的余弦值

3、设02，已知两个向量则向量p1p2长度的最大值是op1(cos,sin)，op2(2sin,2cos)，______ 答案：

1、31010；

2、92142；

3、32

设计意图：要求每位学生自己先做练习，然后对照答案进行自主的学习、同座之间互相探讨，然后听老师或学生进行讲解。本环节尽量留出时间让学生充分地比较，互相学习，共同提高。

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【课堂小结】：

1、向量知识，向量观点有着广泛的应用，本节课主要学习了两方面的应用： 利用平面向量数量积解决夹角问题和平面向量的综合应用（在三角函数中应用）

2、本节课主要学习了化归转化的思想方法

向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系

设计意图：课堂小结由师生共同进行，以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。同时要引导学生学会总结：做完一道题目的总结，学完一课、一章的总结，有总结才有提高，通过：练习—总结—再练习，提高学习效率。

【课堂小测】

A、300

1、(05北京)a1，b2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为（）

2、已知a1，b

000 B、60 C、120 D、150

2，且a(ab)，则向量a与b的夹角是_______.

3、已知向量a(sin,1),b(1,cos)，且22（2）.求ab的最大值(1).若ab,求

答案：

1、C2、43、（1）4，（2）21

设计意图：通过课堂小测快速反馈，既可以把学生取得的进步变成有形的事实，使之受到鼓励，乐于接受下一个任务，又可以及时发现学生存在的问题，及时矫正乃至调节教学的进度，从而有效地提高课堂教学的效率。

思考题、设向量m(cos,sin)和n(2sin,cos),(,2)82且mn,求cos()的值528

【课后作业，分层练习】

必做： 《课时作业本》第4章第3课时

选做：(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.设计意图：出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考空间。

【教学反思】 待写„„

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