线性代数教案第二章线性变换与矩阵_线性代数第二章教案

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第二章线性变换与矩阵

代数学最基本的研究对象是代数系统本身的结构和不同代数系统之间的联系.上一章,对线性空间这种最重要和最基本的代数系统作了比较深入的研究.本章讨论线性空间之间的联系,即线性空间之间的映射,而很多时候这种映射被称为变换.一、教学目标与基本要求

线性变换和矩阵掌握线性变换的概念及性质，以及逆变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示方法，掌握矩阵线性空间的概念以及矩阵的乘法，了解矩阵的转置及分块，掌握方阵的逆的概念及其求法，了解矩阵的初等变换及初等方阵的概念

（一）重要内容及定理

1．线性变换概念及其性质

设V,W是两个线性空间.一个V至W的线性映射T,就被称为V至W的线性变换.定义2.1.1集合{x|xV且T(x)θ}被称为线性变换T的零空间(或称为T的核),记为N(T).定理2.1.1T的值域T(V)W是W的一个子空间.T映V的零元素为W的零元素.定理2.1.2若V是有限维的,则T(V)也是有限维的,且有

dimN(T)dimT(V)dimV

即一个线性变换的零维与秩之和等于其定义域的维数.定义2.1.2设S,T是任意的V至W的线性变换,c是任意实数.按如下方式定义线性变换的加法和数乘:

(ST)(x)S(x)T(x).(cT)(x)cT(x).这里x是V中任意元素.容易验证,按此定义的线性变换的加法和数乘,使全体V至W的线性变换构成之集成为一个线性空间,将其记为L(V,W).定义2.1.3设U,V,W是任意三个集合.T:U→V,S:V→W是两个映射,复合映射ST:U→W按如下方式定义:(ST)(x)S[T(x)],任意xU.映射的复合显然不满足交换律.但满足结合律,即若T:U→V,S:V→W, R:W→X,则有

R(ST)(RS)T.定义2.1.4对映射T:V→V按如下方式定义其幂: T0I,TnTTn-1(n≥1取整数)这里I是恒等映射.2．逆变换

定义2.2.1给定集合V,W及映射T:V→W.映射S:T(V)→V被称为T的左逆,如果对任何xV,有S[T(x)]x.此时,若用IV记V中的恒等映射,则有

STIV.映射R:T(V)→V被称为T的右逆,如果对任意yT(V),有T[R(y)]y.此时,若用IT(V)记T(V)中的恒等映射,则有

TRIT(V).定义2.2.2设T:V→W是1-1映射,则T有唯一左逆(它同时是T的右逆),将其记为T此时称T是可逆映射,并称T11.为的T逆.定理2.2.1 一个映射T:V→W最多有一个左逆.若T有左逆S,则S也是T的右逆.定理2.2.2若映射T:V→W是单射,则T必有左逆.反之亦真.定理2.2.3设V,W是线性空间,TL(V,W),则下列命题等价:(1)T是V和T(V)间的1-1映射.(2)T是可逆映射,其逆T1:T(V)→V是线性变换.(3)T(x)θ蕴涵xθ.换言之,零空间N(T)只含V的零元素.定理2.2.4设V,W是线性空间,V是有限维的(设dimVn),TL(V,W).则下列命题等价:(1)T是V和T(V)间的1-1映射.(2)若{e1,,T(ek)}是T(V)中独立集.,ek}是V中独立集,则{T(e1),(3)dimT(V)n.(4)若{e1,,T(en)}是T(V)的一组基.,en}是V的一组基,则{T(e1), 线性变换的矩阵表示

定理2.3.1设{e1,,en}是n维空间V的一组基,u1,,un是线性空间W中任意n个元素.则唯一存在线性变换T:V→W, 使

,n.(2.3.1)T(ek)uk,k1,而且,此变换对任意xnxekk1nkV,有

T(x)xkuk.k1定理2.3.2设V是n维线性空间, {e1,,en}是V的一组基；W是m维线性空间, {w1,,wm}是W的一组基.T:V→W是线性变换,[aik]是T在给定基下的矩阵表示.则对任意xxekk1nkV,若设

T(x)yiwi, i1m则 yiak1nik,m.xk，i1,定理2.3.3设V和W是有限维线性空间,dimVn,dimWm,TL(V,W),rdimT(V)是T的秩.则存在V中一组基{e1,,en}及W中一组基{w1,,wm},使

,r, T(ei)wi,i1,,n.T(ei)θ,ir1,矩阵线性空间

定义2.4.1设A[aik],B[bik]是两个同型矩阵,c是任意数.矩阵A与B的和(记为AB)及数c与矩阵A的乘积(记为cA或Ac)定义为

AB[aikbik],cAAc[caik].重要结论：设V和W是两个线性空间,dimVn,dimWm,V和W的基已经取定.则线性空间L(V,W)与线性空间Mm,n是同构的矩阵乘法

定义2.5.1设A[aij]mp及B[bij]pn是任意两个mp及pn矩阵.则矩阵A与矩阵B的乘积AB定义为[cij]mn,这里

,m；k1,,n.cijaikbkj,i1,k1p6 矩阵的转置及分块

定义2.6.1给定矩阵A[aij]mn.称第i行第j列元素为aji的nm矩阵为A的转置矩阵,记为A.定义2.6.2设A[aij]为n阶方阵.若有AA,即A的元素满足aijaji

TT(i,j1,,n),则称A为对称阵.7 方阵的逆矩阵的初等变换和初等方阵

定义2.7.1设A是一个n阶方阵.若另有n阶方阵B使得BAEn,则称A是非奇异方阵,并称B是A的左逆.(1)对调两行(对调i,j两行,记着Rij).(2)以数k0乘某一行中所有元素(第i行乘k,记着kRi).(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行相应元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记着RikRj).定理2.7.2设A是一个mn矩阵,对A施行一次行初等变换,相当于以相应的m阶初等方阵左乘A；对A施行一次列初等变换, 相当于以相应的n阶初等方阵右乘A.定理2.7.3设A是可逆方阵,则存在有限个初等方阵F1,F2,…, Fl,使 AF1F2Fl.（二）领会

1．领会线性变换的定义；

2．领会线性变换与矩阵的关系；

3．领会线性变换空间与同型矩阵空间的同构。

（三）运用

1．会判定是否是线性变换； 2．会求在一个线性变换的矩阵； 3．会矩阵的运算；

4．会利用分块矩阵运算；

二、教学内容及学时分配：

第一节线性变换概念及其性质 2学时第二节逆变换

2学时

第三节线性变换的矩阵表示

2学时第四节矩阵线性空间 2学时第五节矩阵乘法

2学时第六节矩阵的转置及分块 2学时