线性代数电子教案LA51B_免费线性代数电子教案

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第五章

矩阵的相似变换

§5.1 矩阵的特征值与特征向量

定义： 对于n阶方阵A, 若有数和向量x0满足Axx, 称为A的特征值, 称x为A的属于特征值的特征向量．

特征方程：Axx(AE)x0 或者(EA)x0

(AE)x0有非零解de(tAE)0

EA)0

de(t

特征矩阵：AE 或者 EA

a11a12a1na2n

特征多项式：()det(AE)a21an1a22an2

ann

a0na1n1an1an[a0(1)n]

122

例1 求A212 的特征值与特征向量． 2211

解 ()222212(5)(1)2 21

()015,231

求15的特征向量：

2214101行011, p1

A5E24212401200

xk1p1(k10)

求231的特征向量：

222行111111, p0 000

A(1)E222, p2300022201

xk2p2k3p3

（k2,k3不同时为0）

110

例2 求A430 的特征值与特征向量．

1021

解 ()13000(2)(1)2 241

()012,231

求12的特征向量：

0310行100

A2E410010, p10

0001100

xk1p1(k10)

求231的特征向量：

210行1011

A1E420012, p22

0001011

xk2p2(k20)

[注] 在例1中, 对应2重特征值1有两个线性无关的特征向量；

在2中, 对应2重特征值1只有一个线性无关的特征向量．

一般结论：对应r重特征值的线性无关的特征向量的个数r．

定理1 设A(aij)nn的特征值1,2,,n, trAa11a22ann, 则

(1)trA12n；

(2)detA12n．

证 由特征值的定义可得

a11a12an2a1na2na21an1a22

()det(AE)

ann

(a11)(a22)(ann)fn2()

(1)nn(1)n1(a11a22ann)n1gn2()fn2()

其中gn2(),fn2()都是次数不超过n2的多项式．由题设, 又有

()det(AE)(1)(2)(n)

(1)nn(1)n1(12n)n1(12n)

比较多项式同次幂的系数可得

a11a22ann12n

deAt(0)12n

t0 0是A的特征值．

推论

deA

一元多项式：f(t)c0c1tc2t2cmtm

矩阵多项式：f(A)c0Ec1Ac2A2cmAm

(Ann,En)

定理2 设Axx(x0), 则

(1)f(A)xf()x；

(2)f(A)Of()0．

证(1)因为 AxxAkxkx

（k1,2,）

所以 f(A)xc0Exc1Axc2A2xcmAmx

c0xc1xc22xcmmxf()x

(2)f(A)Of()xf(A)xOx0f()0

(x0)

[注] 一般结论：若A的全体特征值为1,2,,n,则f(A)的全体特征值

为f(1),f(2),,f(n)．

例3 设A33的特征值为11,22,33, 求 det(A33AE)．

解

设f(t)t33t1, 则f(A)A33AE的特征值为

f(1)1,f(2)3,f(3)17

故

det(A33AE)(1)3(17)51

定理3 设Ann的互异特征值为1,2,,m, 对应的特征向量依次为

p1,p2,,pm, 则向量组p1,p2,,pm线性无关．

证 采用数学归纳法．

m1时, p10p1线性无关．

设ml时, p1,,pl线性无关, 下面证明p1,,pl,pl1线性无关．

设数组k1,,kl,kl1使得

k1p1klplkl1pl10

(1)

左乘A, 利用Apiipi可得

k11p1kllplkl1l1pl10

(2)

(2)l1(1)：

k1(1l1)p1kl(ll1)pl0

因为p1,,pl线性无关（归纳法假设）, 所以

k1(1l1)0,,kl(ll1)0k10,,kl0

代入(1)可得 kl1pl10kl10．故p1,,pl,pl1线性无关．

根据归纳法原理, 对于任意正整数m, 结论成立．

定理4 设Ann的互异特征值为1,2,,m, 重数依次为r1,r2,,rm，(i)(i)

对应i的线性无关的特征向量为p1,p2,,pl(ii)(i1,2,,m),(1)(m)m)

则向量组p1线性无关．（自证）,,pl(11),,p1,,pl(m

§5.2 相似对角化

1．相似矩阵：对于n阶方阵A和B, 若有可逆矩阵P使得P1APB,称A相似于B, 记作A~B．

(1)A~A：

E1AEA

(2)A~BB~A：(P1)1B(P1)A

(3)A~B,B~CA~C

性质1 A~BdetAdetB．

性质2 A可逆, A~BB可逆, 且A1~B1．

性质3 A~BkA~kB,Am~Bm

（m为正整数）．

性质4 f(t)为多项式, A~Bf(A)~f(B)．

性质5 A~Bdet(AE)det(BE)

A与B的特征值相同

证

由P1APB可得 BEP1APEP1(AE)P

de(tBE)dePt1detA(E)dePt

(dePt)1detA(E)dePtdetA(E)

2．相似对角化：若方阵A能够与一个对角矩阵相似, 称A可对角化．

定理5 n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量．

证

必要性．设可逆矩阵P使得

1def1

PAP n

即APP．划分Pp1pn, 则有

Ap1pnp1pn

Ap1Apn1p1npn

Apiipi(i1,2,,n)

因为P为可逆矩阵, 所以它的列向量组p1,,pn线性无关．

上式表明：p1,,pn是A的n个线性无关的特征向量．

充分性．设p1,,pn线性无关, 且满足Apiipi

则Pp1pn为可逆矩阵, 且有

APAp1Apn1p1npn

p1pnP

即P1AP．

[注] A~的主对角元素为A的特征值．

推论1 Ann有n个互异特征值A可对角化．

推论2 设Ann的全体互异特征值为1,2,,m, 重数依次为r1,r2,,rm,则A可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值i,A有ri个线性

无关的特征向量．

(i1,2,,n)，例4 判断下列矩阵可否对角化：

100,(2)A

(1)A0016116

解(1)()(1)(2)(3)

122212,(3)A221110430 102

A有3个互异特征值 A可对角化

对应于11,22,33的特征向量依次为

111

p11, p22, p33

1491111

构造矩阵 P123, 24931

则有 P1AP．

(2)()(5)(1)2

例1求得A有3个线性无关的特征向量 A可对角化

对应于15,231的特征向量依次为

111

p11, p21, p30

101

1115, 1

构造矩阵 P1100111

则有 P1AP．

(3)()(2)(1)2, 例2求得, 对应于2重特征值231,A只有1个线性无关的特征向量 A不可对角化．122

例5 设A212, 求Ak(k2,3,)． 2211115, 1, 使得

解

例4求得 P1100111

P1AP：APP1,AkPkP1

k1115110

故 Ak011(1)k1111 121k3(1)2115k21

5k3k55k5k25k5k5k

（(1)k）5k2

线性代数电子教案LA31B

第三章矩阵的初等变换§3.1 矩阵的秩 1.子式：在Amn中, 选取k行与k列, 位于交叉处的k2个数按照原来的相对位置构成k阶行列式, 称为A的一个k阶子式, 记作Dk．k对于给定的k, 不同......

线性代数电子教案LA32B

2341, b例3 求解Axb, A2446121258 32345345112行~00222解 A2446822212123001234512012行 0011100111 行~ranAkranAk24Axb有无穷多解x22x2x4同解方程组：1x4x31x1......

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线性代数讲稿讲稿编者：使用教材：《线性代数》教学参考：《线性代数典型题分析解集》张 凯 院西北工业大学出版社 西工大数学系编 西北工业大学出版社 徐 仲 等编第一章n阶行列式......

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§1.4 行列式的性质 a11a1na11an1, DΤ, 则DΤD．性质1 设Dan1anna1nann证 令bijaji(i,j1,2,,n), 则b11bn1 DΤ(1)b1p1b2pbp2bnpn1nb(p12pn)nn(1)apapp11(22apnnD1p2pn)ai1a......

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6.伴随矩阵：A(aij)nn, detA中元素aij的代数余子式为Aij．a11a21 Aan1a12a22an2a1nA11Aa2n， A*12annA1nA21A22A2nAn1An2Ann重要性质：AA*A*A(detA)E7.共轭矩阵：复矩阵A(aij)mn的共轭......