勾股定理教案_勾股定理教案教案

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勾股定理专题 第 1 讲

一、《标准》要求

1．在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念。2．在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力。

3．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能运用他们解决一些简单的实际问题。

二、教学目标：

（一）、知识与技能：

经历勾股定理及其逆定理的探索过程，了解勾股定理的各种探究法方法及其内在联系，体验数形结合的思想，解和掌握勾股定理内容及简单应用，进一步发展空间观念和推理能力。

（二）、过程与方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的内容；

2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

（三）、情感态度与价值观

通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值。

三、教学重点

勾股定理及其逆定理在解决数学问题中的灵活应用

四、教学难点

勾股定理及其逆定理的证明

五、教学过程

一、引入新课

据传两千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希腊著名的数学家毕达哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来，原来朋友家的地面是由许多直角三角形组成的图案，黑白相间，美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟地站了起来，大笑着跑回去了，原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。

那么黑白相间的地砖上的正方形之间存在怎样的关系呢？让我们一起来探索！

勾股定理被称为“几何学的基石”，勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

别名：商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、动手画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的长。（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长

你能观察出直角三角形的三边关系吗？看不出来的话我们先来看一下下面的活动。

4.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面的猜想关系还成立吗？

二、新知传授

通过上面的活动，可以发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。因为我国古代把直角三角形较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此我国把上面的这个结论称为勾股定理。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么abc。22

勾股定理的一些变式：

2a2c2b2，b2c2a2，cab2ab．

2勾股定理的证明

勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想．

方法一：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．

(这个方法叫加菲尔德证法。加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。)

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

图（1）中，所以

．

这是加菲尔德证法变式如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证 法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。

大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:

方法三：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．

图（2）中，所以

．

(这个方法是以前一个叫赵爽的人对这个图做出的描述，所以这个图又叫赵爽弦图，用现代的数学语言描述就是大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个三角形的面积。)

那么勾股定理到底可以用来干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用．

类型

一、勾股定理的直接应用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路点拨】利用勾股定理a2b2c2来求未知边长．

解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，a2b2c2，a＝5，b＝12，所以c2a2b25212225144169．所以c＝13．

（2）因为△ABC中，∠C＝90°，a2b2c2，c＝26，b＝24，所以a2c2b2262242676576100．所以a＝10．

练习1

△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°

2.在△ABC中，A900，则下列式子中不成立的是（）A.BC2AB2AC

2B.AC2BC2-AB2 B.AB2BC2AC2

D.AB2AC2BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ acb10664，∴ a＝8．（2）设a3k，c5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ abc．

222(3k)32(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a3k3824，c5k5840．

类型

二、与勾股定理有关的证明

例

2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．

由图1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案与解析】

证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：41ab（b-a)2c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

练习2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】连接AD构造直角三角形，得，选A．

类型

三、与勾股定理有关的线段长

例

3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：设AB＝x，则AF＝x，∵ △ABE折叠后的图形为△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x8x4，解得x6．

2类型

四、与勾股定理有关的面积计算

例

4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵ABCCDEACBDECACCE

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵ABBCAC ∴ABDEAC

∴b的面积为5+11=16，故选D．

练习4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案。22222

24.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如图，由题意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故选B．

类型

五、利用勾股定理解决实际问题

例

5、有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．

【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．

【答案与解析】

解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．

练习5

如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m,1m,0.8m的箱子能放进储藏室吗？

5.如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？

【答案】

解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

ABBC222AC52122169 ．∴

AB13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗杆折断前的高度为18m．

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