《数学分析》教案_数学分析优秀教案

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《数学分析》教案

S F 01(数)

C h0 数学分析课程简介

C h 1 实数集与函数

计划课时： Ch 0

2时

Ch 1

6时

P 1—8

说 明：

1．这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案.该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了8 0 学时）.按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容.本教案共2 7 9页，分2 1章.2.取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

数学分析课程简介(2 时)一.数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.2.极限(limit)—— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别..二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.三.数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的8000), 后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一.一般懂得了证明后，能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业.在学习中, 要养成多想问题的习惯.四.课堂讲授方法:

1.关于教材: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.五.要求、辅导及考试：

1.学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3(国外这个比例通常是 1 : 4.参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版:

本科节段如何培养高素质创新人材 ——

伯利克大学的启示.注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富:

要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:

作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容.大体上每两周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业, 最好用西北师大稿纸.要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm.作业布置方式: [1]P…, [4]P…

3.辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.考试题为标准化试题.Ch 1 实数集与函数(6时)

§ 1

实数集与确界（3时）

一．

实数集R：回顾中学中关于实数集的定义.1.四则运算封闭性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: a,bR, ba0, nN,  nab.4.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.5.实数集的几何表示 ─── 数轴: 6.两实数相等的充要条件: ab,  0, ab  .7.区间和邻域:

二.几个重要不等式:

1.绝对值不等式: 定义 a maxa , a .[1]P2 的六个不等式.2.其他不等式:

⑴ a2b22ab, sinx  1.sinx  x.⑵

均值不等式: 对aa1,a2,,nR, 记

M(aa1a2anni) n 1nai,(算术平均值)

i11n

G(ai)na1a2annai,(几何平均值)i1

H(ai)n11nnna11111.(调和平均值)1a2anni1aii1ai有平均值不等式:

H(ai) G(ai) M(ai),等号当且仅当a1a2an时成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)x1,有不等式(1x)n1nx, nN.当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式(1x)n1nx.(现采用《数学教学研究》1991.№ 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明)证 由 1x0且1x0, (1x)nn1(1x)n111 n n(1x)nn(1x).(1x)n1nx.⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式(1h)n1nhn(n1)2!h2n(n1)(n2)3!hh,3n 有(1h)n上式右端任何一项.三.有界数集与确界原理: 1.有界数集:

定义(上、下有界, 有界)，闭区间、(a,b)(a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 Ey ysinx, x( , )也是有界数集.无界数集: 定义,( , ),( , 0),(0 , )等都是无界数集，1, x(0 , 1)也是无界数集.x集合 Ey y2.确界: 给出直观和刻画两种定义.n(1)

例

1⑴

S1n,则supS______, infS_______.

⑵ Ey ysinx, x(0,).则

supE________, infE_________.例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S和A是非空数集，且有SA.则有 supSsupA, infSinfA..例4 设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy, 则有

supAinfB.证 yB, y是A的上界,  supAy. supA是B的下界,  supAinfB.例5 A和B为非空数集, SAB.试证明: infSmin infA , infB .证

xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

xinfA或xinfB. xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的下界,  infSmin infA , infB .又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA;同理有infSinfB.于是有 infSmin infA , infB .综上, 有 infSmin infA , infB .3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系: 设 E为数集.⑴

E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵

非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxEsupE.对下确界有类似的结论.四.确界原理:

Th(确界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函数(3时)

一.函数:

1.函数:

[1]P10—12的五点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法:

4.反函数:

一 一 对应, 反函数存在定理.5.函数的代数运算:

1x, x1,f(x)2, x1,2x, x1

二.分段函数: 以函数介绍概念.2x, x1,和g(x)2为例

x, x1例1 f(x)32x1, 去掉绝对值符号.x  1,x, 1x, x 1.例

2f(x)

求 f(0), f(1), f(2).例

3设 f(x)x3, x10,ff(x5), x10.求 f(5).(答案为8)

三.函数的复合:

例4 yf(u)定义域.例

5⑴

f(1x)xx1, f(x)_____________.112x2.则f(x)()xx222u, u g(x)1x.求

2fg(x)fg(x).并求

⑵

fx2

A.x,B.x1,C.x2,D.x2.[4]P407 E62.2四.初等函数:

1.基本初等函数:

2.初等函数: 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则

⑴ f(x)是初等函数, 因为 f(x)f(x)2.⑵ (x)maxf(x), g(x) 和 (x)minf(x), g(x)都是初等函数, 因为 (x)maxf(x), g(x) (x)minf(x), g(x)  ⑶ 幂指函数 f(x) f(x)g(x)1212f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) , f(x)g(x).g(x)f(x)0是初等函数,因为

g(x)elnf(x)eg(x)lnf(x).五.有界函数: 有界函数概念.例6

验证函数 f(x)225x2x32在R内有界.2解法一 由2x3(2x)(3)25x2x322x326x, 当x0时,有

f(x)5x2x325x26x5263.f(0)03,

对 xR, 总有 f(x)3, 即f(x)在R内有界.解法二

令 y5x2x32,  关于x的二次方程 2yx225x3y0有实数根.22

 524y0,  y25244,  y2.解法三

令 xtgt, t,对应x( , ).于是 2223f(x)5x2x3252332tgt2533tgt2tgt322tgt15sint126costsect

 526sin2t,  f(x)526sin2t526.关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.

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