数学分析教学大纲_数学分析课程教学大纲

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《数学分析》教学大纲

教学目的1.通过本课程的教学，使学生获得极限论、一元微积分、无穷级数与多元微积分等方面的系统知识，正确理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生的抽象思维、逻辑推理及分析运算能力；

2.为学生进一步学习复变函数论、常微分方程、概率论理数理统计、实变函数论等后继课程提供必要的数学概念、理论、方法以及运算技能；

3.使学生掌握本课程与此同时学数学内容的内在联系，加深对中学数学内容、方法的理解，为用高观点指导中学数学教学打下必要的基础。

4.本课程的教学应使学生理解的掌握常量与变量、直与曲、有限与无限、特殊与一般，具体与抽象等辨证关系，培养的辩证唯物主义观点；应重视数学思想方法的数学，培养学生学数学，用数学的能力，提高学生分析问题解决问题的能力。

教学内容

数学分析是现代数学的基础学科，是学习和掌握其它数学学科及科学技术的基础和工具，是数学专业的一门重要基础课程。在实数范围内用极限方法研究函数性质，本课程的基本内容包括：函数、极限与连续，一元函数微积分学，无穷级数与多元函数微积分学。

教学基本内容及要求

（一）第一章：实数集与函数

1，教学基本要求 [目的要求]

（1）理解实数系，实数的性质与不等式；（2）准确理解上确界与下确界、确界存在定理；

(3)熟练掌握一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示；(4)掌握函数的有界、单调、周期性。[重点难点] 重点：基本初等函数；难点：确界

2教学具体内容

实数系，实数的性质与不等式。上确界与下确界、确界存在定理。一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示。函数的有界、单调、周期性。

第二章：数列极限

1，教学基本要求

[目的要求]（1）领会实数的性质，能用数列极限的定义进行分析、证明；（2）掌握数列极限定义、性质、四则运算，极限存在的条件。[重点难点] 重点：极限；难点：极限定义，极限存在的条件

2教学具体内容

数列、数列极限的定义、无穷小量，数列极限和性质，数列极限的四则运算；数列极限和性质，数列极限的四则运算；单调有界收敛定量Cauchy收敛定理。

第三章：函数极限 1，教学基本要求

[目的要求]（1）准确理解函数极限的定义，性质、四则运算、与数列极限的关系；（2）熟练掌握单侧极限Cauchy收敛原理；

（3）熟练掌握两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶。[重点难点] 重点：两个重要极限；难点：函数极限的定义

2教学具体内容

函数极限定义、单侧极限、函数极限定义的推广。函数极限的性质――唯一性、局部保序性、局部有界性、夹逼性、函数极限的四则运算；函数极限与数列极限的关系――Heine定理、Cauchy收敛原理；两个重要极限；无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量、无穷大量和比较、高阶、同阶、等价无穷大理、等价量、等价量的代换。

第四章：连续函数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）熟练掌握连续函数的定义、连续函数的四则运算、不连续点的类型、反函数的连续性、复合函数的连续性；

（2）掌握闭区间上连续函数的性质、理解一致连续的概念。[重点难点] 重点：连续函数的定义；难点：一致连续的概念

2教学具体内容

连续函数的定义、单侧连续、不连续点的类型；连续函数的四则运算，反函数连续性定理、复合函数的连续性，闭区间连续函数的有界性定义、最值性定理、零点存在定理、中间值定理、一致连续的概念、闭区间上连续函数的一致连续性；初等函数连续性质

第五章：导数与微分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用；

（2）理解一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则；（3）会应用Leibniz公式、理解和掌握复合函数求高阶导数的链式法则。[重点难点]

重点：导数的定义；难点：复合函数的求导法则

2教学具体内容

导数的定义和微分的关系导数产生的背景、几何意义、单侧导数；用定义求导数、求导的四则运算、反函数求导法则、基本求导公式，复合函数求导法则——链式法则、一阶微分形式的不变性；微分的定义、导数的定义和微分的关系；高阶导数的定义、运算、高阶微分的概念；参数形式的函数求导，参数方程所确定函数的高阶导数。

第六章：微分中值定理及其应用

1，教学基本要求

[目的要求]（1）使学生掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用（函数的极值与最值；函数的凸性拐点）

（2）熟练掌握LHospital法则和应用；

（3）数学建模及函数方程的近似求解，会进行函数作图。[重点难点]

重点：中值定理；难点：Taylor公式 '2教学具体内容

函数单调性；极值、Fermat引理、Rolle定理、Lagrange中值定理、函数单调性凸函数、二阶导数与凸函数的关系、Cauchy中值定理；LHospital法则；Taylor公式及其Lagrange型余项、Peano 型余项；求极限、最值问题，求曲线的渐进线方程；函数的凸性拐点；函数作图。

'第七章：实数的完备性定理

1，教学基本要求

[目的要求]

使学生掌握实数的完备性定理，确界原理，区间套定理等 [重点难点]

重点：区间套定理；难点：完备性定理

2教学具体内容

实数的基本定理；闭区间上的连续函数性质的证明。

第八章：不定积分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法；（2）熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法；

（3）掌握有理函数积分的计算、区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型 [重点难点]

重点：分部积分法和换元积分法；难点：有理函数积分的计算

2教学具体内容

原函数、不定积分的定义、不定积分线性性质、不定积分的基本公式，基本积分表；换元积分法——第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法；有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情况。

教学基本内容及要求

（二）第九章：定积分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点掌握定积分的概念；

（2）了解可积的充要条件，可积函数类；

（3）掌握定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶函数的定积分等。

[重点难点]

重点：微积分基本定理；难点：定积分的概念

2教学具体内容

定积分的引入和概念；积分上、下限函数，微积分基本定理；Riemann可积的充要条件和一些可积函数类；定积分的基本性质（定积分的基本性质：线性性，保序性，区间可加性和积分第一中值定理等）；定积分的计算（定积分的换元积分法和分部积分法，奇偶函数的定积分）。

第十章：

定积分的应用

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点掌握求面积、弧长、体积和侧面积：（2）了解微元法及其应用。

[重点难点]

重点：求面积；难点：微元法

2教学具体内容

求平面图形的面积；求几何体的体积；求曲线的弧长；求旋转体的侧面积

；定积分在理上的应用。

第十一章：

反常积分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）掌握反常积分敛散性的定义，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，（2）理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，（3）理解一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。

[重点难点]

重点：反常积分敛散性的判定；难点：Abel、Dirichlet判别法

2教学具体内容

反常积分的概念和计算；绝对收敛和条件收敛的概念，反常积分的Cauchy收敛原理，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel,Dirichlet判别法。

第十二章：

数项级数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质，（2）熟练地求一些级数的和；（3）比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性；

（4）准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

[重点难点]

重点：级数敛散性的判定；难点：Cauchy、D`Alembert判别法

2教学具体内容

数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，一些简单的级数求和。正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法；级数的Cauchy收敛原理，Leibniz级数及其判别法，Abel变换、条件收敛和绝对收敛概念，Abel、Dirichlet判别法，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质。

第十三章：

函数项级数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；（2）掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstra判别法，Abel、Dirichlet判别法，（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性

[重点难点]

重点：一致收敛级数的连续性、可导性和可积性；难点：一致收敛

2教学具体内容

点态收敛，收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法。函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstra判别法，Abel、Dirichlet判别法，一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。

第十四章：

幂级数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）掌握幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，（2）掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开 [重点难点]

重点：幂级数展开；难点：幂级数展开的条件

2教学具体内容

幂级数概念，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。

第十五章：

Fourier级数

1，教学基本要求

[目的要求]

熟练掌握函数的Fourier级数的概念和Fourier级数各种展开。

[重点难点]

重点：Fourier级数各种展开；难点：Fourier级数各种展开

2教学具体内容

Fourier级数的来历及与Taylor展开的比较；周期为2π的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。收敛定理的证明（说明思路，不证明）

第十六章：

多元函数的极限和连续

1，教学基本要求[目的要求]（1）理解有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包，（2）理解闭矩形套定理，Bolzano-Weierstra定理，Cauchy收敛定理，Heine-Borel定理；（3）掌握多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系，多元函数的连续，、连续等性质，连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理，（4）掌握连通集和区域等概念。

[重点难点]

重点：多元函数的重极限和二次极限；难点多元函数的重极限和二次极限：

2教学具体内容

Rn的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭矩形套定理，Bolzano-Weierstra定理，Cauchy收敛定理，Heine-Borel定理等。多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系。多元函数的连续，连续函数的性质：有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理等，连通集和区域。

第十七章：

多元函数的微分学

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导、可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，（2）了解混合偏导数的相等，重点掌握多元复合函数的链式法及其应用，（3）了解一阶全微分的形式不变性。

[重点难点]

重点：偏导数；难点：多元复合函数的链式法

2教学具体内容

偏增量和全增量，偏导数，全微分，连续，可偏导，可微之间的关系；多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性。方向导数与梯度；高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数的相等，Taylor公式及Lagrange余项的计算；Taylor公式的简单应用，条件极值的几个基本结论；最小二乘法；函数的无条件极值与最值的计算；无条件极值在几何及不等式中的应用。

教学基本内容及要求

（三）第十八章：隐函数定理及应用

1，教学基本要求

[目的要求]（1）理解隐函数，隐函数组，反函数组的概念及相关定理。

（2）熟练计算隐函数的导数；偏导数和高阶偏导数，计算隐函数组的导数；偏导数。（3）会求曲线的切线与法平面的方程；曲面在给定点处的切平面与法线方程。（4）掌握无条件极值与条件极值的求法。

[重点难点]

重点：隐函数的导数；难点：条件极值

2教学具体内容

一元及多元隐函数存在定理；由方程或方程组所确定的隐函数的偏导数的计算；通过变量变换进行方程的化简和变换。隐函数组；空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用；条件极值。

第十九章：

含参变量积分1，教学基本要求

[目的要求]