计算方法总结_计算方法总结

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第一章：基本概念

x1x2...xm.xm1xm2...xmn 1.xx1x2...xm.xm1xm2...xmnxmn1x若xx1mn及其以前的非零数字称为准确数字。准确到n位小数，x10n，称x2各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。2.f(x)xl0.x1x2...xt

进制：，字长：t，阶码：l，可表示的总数：2(UL1)(1)t11 3.计算机数字表达式误差来源

实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。4.数据误差影响的估计：

yy1nnyy(x1,x2,...xn)(x1,x2,...xn)xixi xi，小条件数。

xiyxiy1解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。

5.算法的稳定性

若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。

第二章：解线性代数方程组的直接法

1.高斯消去法

步骤：消元过程与回代过程。

顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。解决：在消去过程的第K步，交换主元。还有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特尔分解即LU分解。

用于解方程AXbLUXbLYb；

UXY用于求ALULUUu11u22...unn。

克罗特分解：ALULDD1U(LD)(D1U)，下三角阵和单位上三角阵的乘积。将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。

对称正定矩阵的乔列斯基分解，AGG，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解

TAXb的平方根法。

改进平方根法：利用矩阵的ALDL分解。4.舍入误差对解的影响

T向量范数定义： 常用的向量范数： 矩阵的范数： 常用的矩阵范数：

矩阵范数与向量范数的相容性： 影响：xxk1kAA(bA1其中cond(A)kAA，k值大，病态问题。)，bA第三章：插值法

1.定义

给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多

nx)。项式：Pn(x)a0a1xa1x2...a1xn，使满足Pn(xi)yi。取f(x)P(称Pn(x)为插值多项式，xi为插值节点，f(x)为被插函数。插值问题具有唯一性。

2.Lagrange插值多项式 表达式：

误差估计式：

3.Newton插值多项式 差商： 表达式： 误差表达式： 差商的性质：

1)差商与节点的次序无关； 2)K阶差商对应K阶导数； 3)4)5)

4.埃尔米特（带导数）插值多项式 1)Newton法，给定f及f(k)为数字；

2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。

5.三次样条插值函数

分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。

三次样条插值函数的导出：

第四章：函数最优逼近法

1.最优平方逼近

对于广义多项式：P(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)，其中i(x)线性无关。要求：

若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当i(x)xi，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。

2.函数的内积，范数定义及其性质 内积的定义：

性质：

范数的定义： 范数的性质：

正规方程组或法方程组：

3.正交多项式

正交函数系的定义：

代入正规方程组的系数矩阵，则： 几个正交多项式举例： 1)勒让德多项式

2)拉盖尔多项式

3)埃尔米特多项式

4)切比雪夫多项式

四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。

正交多项式的性质：

1)正交多项式gk(x)线性无关，推论：Pk(x)(kn)与gn(x)正交。2)在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。3)设gk(x)是最高次项系数为1的正交多项式，则：

4.最优一致逼近法

(1)切比雪夫多项式的性质 性质1：Tk(x)是[-1,1]上关于(x)11x2(T0,T0),(Tk,Tk)/2；的正交多项式，性质2：Tk1(x)2xTk(x)Tk1(x)； 性质3：Tk(x)是最高次项为2x的奇次项；

k1xk的k次多项式，T2k(x)只含x的偶次项，T2k1(x)只含

2i1,i0,1...k1； 2ki性质5：在[-1,1]上，Tk(x)1，且在k+1个极值点xicos,i0,1...k处Tk(x)依次取

k性质4：Tk(x)有k个不同的零点，xicos得最大值1和-1；

性质6：设Pn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，则：

1x1maxPn(x)max1x111 Tn(x)n1n122(2)最优一致逼近法的定义

设函数f(x)在区间[a,b]连续，若n次多项式Pn(x)c00(x)c11(x)c22(x)...cnn(x)使PnfmaxPn(x)f(x)达到最小，则称Pn(x)为f(x)在[a,b]上的最优一致逼近axb函数。

切比雪夫定理：n次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间[a,b]上最优一致逼近多项式的充要条件是误差R(x)f(x)P(x)区间[a,b]上以正负或负正交替的符号依次取得在EmaxR(x)的点（偏差点）的个数不少于n+2。

axb采用如下方程组进行求解：

(3)近似最优一致逼近多项式 思路：

使用T多项式性质6 若区间是[-1,1]，取xi(i=0～n)为Tn+1的零点，则xicos(值多项式Pn(x)；

若区间是[a,b]，通过转换x方法1：由ticos(2i1),i0～n，以此构造插

2(n1)abbat,t[-1,1]； 222xab2i1代入Pn(t)，可),i0～n，构造Pn(t)，然后将tba2(n1)得Pn(x)。方法2：取xiabbaabba2i1ticos，i=0～n；构造Pn(x)。22222(n1)例：

(4)截断切比雪夫级数法

n(Tk,f)设f(x)在[-1,1]上连续，Sn(x)CkTk(x)，其中Ck；记Sn(x)CkTk(x)；

(Tk,Tk)k0k0n应用切比雪夫定理及性质5，取f(x)Sn(x)(5)缩短幂级数法

方法1： 方法2：

CT(x)。

kkk0第五章：数值微积分

第一节 牛顿柯特斯公式

bI(f)(x)f(x)dxa(x)1bf(x)dxF(b)F(a)

a一．数值算法 1.数值积分算法

对于复杂函数f(x)，考虑用其近似函数P(x)去逼近，用P(x)的积分值近似代替f(x)积分值。

2.插值型数值积分方法

对于拉格朗日插值多项式，广义积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上部变号，则

a,b，使f(x)g(x)dxf()g(x)dx

aabb3.牛顿柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．复化求积公式 b1.I(f)f(x)dx，把[a,b]分成若干等长的小区间，在每个小区间用简单低次数值积分公a式，在将其得到的结果相加。2.复化梯形公式

3.复化辛普森公式

三．变步长的积分公式

1.先取一步长h进行计算，再取较小步长h*计算，若两次结果相差很大，则在取更小步长进行计算，依次进行，直到相邻两次计算结果相差很大，则取较小步长的结果为积分近似值。2.变步长复化梯形公式

3.变步长复化辛普森公式

四．龙贝格积分法

第二节 待定系数法

1.代数精度定义

对于近似公式I(f)Q(f)，如果f(x)是任意不超过m次的多项式，I(f)Q(f)成立，而对于某个m+1多项式，I(f)Q(f)，称代数精度为m次。2.判定方法

近似式的代数精度为m次

对f(x)1,x,...,xm，近似式精确成立，I(f)Q(f)，f(x)xm1时不成立，I(f)Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三节 高斯型积分公式

一．定义

节点个数一定，具有最高阶代数精度公式的插值型积分公式称为Gua型求积公式。插值型积分公式定义：

定理：数值积分公式I(f)Q(f)至少有n次代数精度近似式是插值型积分公式。对于牛顿科特斯公式，若采用等距节点，n分别为奇数和偶数时，代数精度分别为n和n+1。

二．最高代数精度

定理：m2n1 So，给定n+1个节点，具有2n+1次代数精度的插值型数值积分公式称为Gau型求积公式。三．Gau型积分公式的构造方法 方法1：

代数精度为2n+1，则f(x)1,x,...,xm时成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代数精度m2n1xi是[a,b]上关于(x)的正交多项式gn1(x)的零点(高斯点)，b其中Ai(x)l(x)dx。ia四．高斯型求积公式的误差

五．常用的高斯型求积公式 1.Gau-Legendre求积公式 n=0 n=1

1f(x)dxAf(x)Q(f)，x是Pii1nin1(x)的n+1个零点。

i02.Gau-Laguerre求积公式

xxe0xf(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n0f(x)dxe(ef(x))dxexF(x)dx00x(at)ef(x)dxea0f(at)dxeateF(t)dt 03.Gau-Hermite求积公式

ex2f(x)dxAif(xi)Q(f)

i0n14.Gau-Chebyshev求积公式

1f(x)1x2dxn1i0f(cosn2i1)2n2第四节 数值微分

f'(x)limh0f(xh)f(x)，h大，不精确，h小，由于小除数引入大误差。

h近似函数法

取等节距节点，xix0ih,i0,1,...n(1)一阶导数，n=1，两个节点x0x1

(2)一阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

(3)二阶导数，n=2，三个节点x0x1x2

实用误差估计

例：

第六章 非线性方程的迭代解法

第一节 方程求根法

根的定义：对于非线性方程组f(x)=0，若存在数使f()=0，称是非线性方程组f(x)=0的根。

零点存在定理：若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，若f(a)f(b)

试探法，二分法。一．简单迭代法

初值x0，xk1(xk)，产生迭代序列xk。简单迭代收敛定理（压缩映像原理）

[,]，对于迭代函数(x)，若满足(1)若x[a,b],(x)[a,b]；(2)存在正数0

收敛速度(收敛阶)：若存在实数P和非零常数C，使得limkkxk1xkkC0，称迭代序列是P阶收敛。P=1，线性收敛；P>1，超线性收敛；P=2，平方收敛。定理：设是方程x(x)的根，如果迭代函数(x)满足'()''()...(P1)()0,(P)()0

xk1(xk)产生的迭代序列xk是P阶收敛。

二．牛顿迭代法

xk1xkf(xk)f'(xk)收敛性分析：牛顿迭代法具有局部收敛性，初值x0x，产生迭代序列收敛。收敛定理：设f(x)在[a,b]上二阶导数存在，若

f(a)f(b)0，f(x)在[a,b]上单调，f(x)在[a,b]上凹向不变（即f''(x)在区间上不变号），初值x0满足f(x0)f''(x0)0，则任意初值x0[a,b]，有牛顿迭代法产生的xk收敛于方程的唯一根。

简化牛顿法：xk1xk三．弦割法或割线法 用差商代替导数xk1xkf(xk)f(xk)f(xk)xk1xkxk1xkf'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)f(xk1)xkxk1第二节 线性代数方程组迭代解法

Jacobi迭代法，Gau-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik1(1)xikxGSk1）opt迭代法的收敛性：

将迭代法用矩阵表示：ADEF，xk1Bxkg Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk1Bxkg，对x产生的迭代序列x211(Bj)2 收敛的充要条件是：

klimBk0或(B)1。

k推论1：若B1，则收敛；

推论2：SOR方法收敛的必要条件是02；

推论3：设A是严格对角占优矩阵，则Jacobi，G-S，01的SOR方法收敛；

推论4：1)设A是对称正定矩阵，则G-S方法收敛；2)设A是对称正定矩阵，若2D-A也对称正定，则Jacobi方法收敛；若2D-A不对称正定，则Jacobi方法不收敛；3)设A是对称正定矩阵，02，则SOR方法收敛。

第三节 非线性方程组的迭代解法

x k1kkkx[f'(x)]1f(x)

第七章 矩阵特征值和特征向量

矩阵A主特征值——模最大的特征值取为主特征值。对n个互不相同的特征值

123...n，对应特征向量123…n；

kk任意向量z0c11c22...cnn zAZ0 limzkc11k1，zk是对应A的1的特征向量，k(zk1)i1(zk)i

规范乘幂法

ykAzk1，yk按模取最大分量maxykmk，zklimzk10，10是1的规范化向量；limmk1。

kkyk。mk加速法（原点位移法）ykApIzk1

第八章 常微分方程数值解法的导出

y'(x)f(x,y(x))y(a)y0一． 数值微分法

欧拉公式：yi1yihf(xi,yi)后退欧拉公式：yi1yihf(xi1,yi1)终点法：yi1yi12hf(xi,yi)

h2局部截断误差：y(xi1)yiy''()

2二． 数值积分法

hyi1yi[f(xi,yi)f(xi1,yi1)]

2预估yi1yihf(xi,yi)，校正yi1yi

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)f(xi1,yi1)] 2线性多步法

计算方法总结

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