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数学教学中应强化的几种数学观念
山东沂南县教育局（276399）李树臣
【中学数学杂志2014年6期】
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）在“课程的总目标”中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念，就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”，实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段，我们应要求学生在学习数学基础知识，形成基本技能的过程中，不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念：
1本质结构观念
我们知道，任何事物都有质和形两个方面，“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性，是事物存在的根据，是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物，因而也有自己的形.数学所研究的形，正是事物的这种形.从这个意义上讲，数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此，数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发，努力形成明确的本质结构观念.案例1：一元二次方程概念的建立过程.笔者在引入一元二次方程的概念时，首先给出以下三个实际问题，引导学生去思考与探索：
（1）教室的面积为54m2，长比宽的2倍少3m，如果设教室的宽为xm，则长为m，所列方程为.（2）直角三角形斜边的长为11cm，两条直角边长的差为7cm，如果设较短直角边的长为ycm，则较长直角边的长为cm，所列方程为.（3）如图1，点C是线段AB上的一点，且
数量关系列出方程？
设AB=1，AC=z，则根据AC+CB=AB，可得CB的长为.由
可得方程.学生思考后不难得到下面三个方程：
x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z.为了概括方便，我们将其整理成下面的形式：
2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0.然后，引导学生分析这三个方程的属性，学生会发现很多：如它们分别是从计算教室的长和宽，求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的，含有不同的未知数，两边都是整式，最高项的次数都是2等等.这时，引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合，在学生相互交流的基础上，得到三个本质属性：
（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性，至于用什么字母作为未知数，是从怎样的实际问题抽象出来的等，这些属性都是非本质的，数学 1 ABACAC，如果要求的值，怎样根据问题中的ACCBABABAC，即AC2=AB·CB，ACCBA C 图1B
教学关注的是本质属性.有了上面的认识，给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为：“只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.在以上一元二次方程概念的形成过程中，我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中，我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发，进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之，学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样，才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”的要求.2空间观念
空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出图形.可见，形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程之中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.例如，通过学习数轴这一概念，让学生在头脑中形成如下的一些认识：任何一个有理数在数轴上都对应着一个点；互为相反的两个数位于原点的两边，到原点的距离相等；在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大；借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习，要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里，要准确地描述一个点的位置，要用两个实数（x，y）才能完成，而且要从本质上理解A（3，4）和B（4，3）为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上，可以进行如下拓宽：如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组，可以写成（7，6，3），启发学生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意义？通过交流得出，这些数字的顺序是不可交换的，它们是有严格的先后顺序的，其本质是对应的关系.学生有了上面的知识基础，进一步可以得到下面的认识：在我们生活的空间，任何事物均处于一定的空间之中，均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的，一般保持稳定状态，不可轻易强行改变，否则，事物便会在其空间中失去平衡，空间也便会出现紊乱无序状态.案例2：画一条直线，将图2所示的正方形分为两个相同的部分（或全等的部分）.对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线，如图3所示.如果只得到上面的结果，即认为只有上面的四条直线符合要求.说明学生具有一定的空间观念，但不够强.事实上，我们可以将上述四条直线分成两组，每组的两条是“对称”的，均通过正方形中心O这个特殊点.考虑到这一特点，同学们马上就能看出还有很多符合要求的直线.通过讨论不难发现，过正方形中心的任一条直线都符合要求.得到这个结果，其空间观念将比前者有较大的提高.图
2图
33依存关系观念
任何事物均处于某种（些）关系之中，联系地、发展地观察事物，在各种可能的依存关系中去认识事物，充分运用数学语言来反映事物的这种普遍性，就是所谓的依存关系观念.“数学就是研究关系的”，例如，我们可将“三角形”按角进行如下的分类：
直角三角形
三角形锐角三角形.斜三角形
钝角三角形
在三角形的这个概念系统中，就存在着整体和部分之间的关系（整分关系），这是一个比逻辑关系更为一般的关系.从这个关系中可看出，组成三角形（整体）的任何一种成分（部分），均与整体概念“三角形”共处于三角形概念系统的整分关系中.从系统论的观点来看，整体和部分的关系就是系统论最关注的关系.4数据分析观念
《课标2011年版》指出，数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律.案例3：究竟谁能被录用.某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上面的图4所示，每得一票记作1分.(l）请算出三人的民主评议得分；
(2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01)?
(3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
这是我们现实生活中的一个实际问题，它首先用两种形式（表格和扇形统计图）给出数据，然后让学生根据这些数据解答问题.主要考查平均数的概念及利用加权平均数解决实际问题的能力.同学们很容易给出解答：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50分，80分，70分.（2）候选人乙将被录用.（3）候选人丙将被录用.仅仅给出上述答案不是目的，这道题的意图有两个：其一是让学生体会分析数据的必要性；其二是体验权数的差异对结果的影响，从而加深对加权平均数意义的认识.这两点对同学们统计观念的形成是很有必要的.5量化测度观念
《课标2011年版》指出，学生通过数学学习能“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运
图
4用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.”这一要求，体现了量化测度的观念.所谓量化测度观念，就是要让人们形成这样一种观念：在发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的整个过程中，能自觉地的运用定量分析思想和量化手段，通过“质”的“数量界限”来反映事物的状态及其变换.俗话说的“心中有数”，就是量化测度观念在日常思维中的明确反应.相反，办事总觉得“心中无数”，就意味着量化测度观念太淡漠了.案例4：分牛的道理.传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给三个儿子.老大分总数的；老二分总
1数的；老三分总数的.老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁，无计可施，最后决定诉诸官府.官府
54面对此事一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之！后来，一位老人说：“这好办！我有一头牛
借给你们.这样，总共就有20头牛.老大分可得10头；老二分可得5头；老三分可得4头.你等三
524人共分去19头牛，剩下的一头牛还给我！”
真是妙绝了！一个曾经使人绞尽脑汁的难题，竟如此轻松巧妙地得以解决.这自然引起了当时人们的热议，并一时传为佳话，以至流传至今.不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑.老大似乎只该分9.5头，最后他怎么竟得了10头呢？
没过多久，有人对这位老人的“动机”提出了疑议，认为他的做法充其量只是“瞎猫碰上死老鼠”而已.并举例说，倘若老人留下的是39头牛，而不是19头牛，按遗嘱规定的是老大分
11头牛，老二分头2
4牛，老三分头牛，那么结果又将怎样呢？
设想老人牵来一头牛，添成40头.按遗嘱：老大分20头，老二分10头，老三分8头.三人共分去38头牛.那么，这位有智慧的长者是否要把剩下的两头牛都牵回去？谁敢保证他没有“渔利”之嫌？！说的不无道理！我们终于明白了——这位长者的办法确实带有某种盲目性！问题的症结不在于他是否牵牛来，或牵几头牛来又牵几头回去，而在于按遗嘱三兄弟所获牛数的比：
∶∶=10∶5∶4 24
5只要最后这个简单的整数比，能够将19整分，那么结果必然皆大欢喜，又何须再牵一头牛来？反之，如若遗嘱中的简单整数比，不能将牛数整分的话，那么纵然这位长者再有高十倍的智商，也只能是一阵空忙！这个结论为人们提出了分牛问题的最佳解答：
10
S19101
1054
5
5 S219
1054
4
S194
31054
像类似问题的分析与解决是离不开数学量化测度观念的.6无穷、逼近和极限观念
无穷、逼近和极限观念的含义包括两个方面：第一，在数学中，经常需要站在“无穷”、“逼近”和“极限”的立场上，观察、分析和处理问题；第二，数学科学善于在事物“逼近”某个“极限”目的的“无穷”过程中，巧妙的解决问题.由此创造的并有广泛应用的程序模式，就是人们常说的“无穷方法”、“逼近方法”
和“极限方法”.案例5：估算方程4+3（x-1）=64的解的过程.《课标2011年版》要求“经历估计方程解的过程”，我们在学习一元一次方程的解法前，设计了这样一个活动，其目的在于培养学生的估算意识，以逐渐养成逼近的数学观念.为引导学生顺利进行估算，我们将这个活动分为以下四步：
（1）我们先估计一个数，比方估计x=10，检验x=10是否是方程4+3（x-1）=64的解，将x=10代入方程，左边=31，右边=64，这说明x=10不是这个方程的解.从该方程左右两边的值看，31小于64，这说明我们估计x=10是估计小了.（2）再换一个比10大的数进行尝试，比方x=25.将x=25代入方程4+3（x-1）=64.左边=76，右边=64，这说明x=25也不是方程的解.并且说明我们估计x=25又估计大了.（3）由（1）（2）可以知道，方程4+3（x-1）=64的解应当在10到25之间，我们在这个范围内再选取一个整数进行估算.比方说x=15，代入方程进行检验，你得到什么结论？
（4）请你按照下面表格中的步骤，估算这个方程的解，并进行检验.你得到这个方程的解了吗？你对上面这种“估算—检验”的方法有什么体会？与同学交流.学生经过这样的训练，其估算意识必将得到相应的提高.另外，在探求圆的周长公式和圆的面积的过程中，可以培养学生无穷、逼近以及极限的数学观念.7状态变换观念
状态变换观念含有两层意义，一是状态意识，就是关于客观对象总是具有一定的内在表露存在形式或整体姿态的自觉性；二是状态变换意识，就是关于客观对象在一定条件下，可以从一种状态转变为另一种状态的敏锐意识，客观对象系统的状态及其可能变换，正是数学研究的涉猎范围，只有用数学的形、数或别的数学语言来描述和刻画它才最为确切.所以养成学生在看问题、处理事情时，具有自觉、鲜明的状态意识和状态变换意识，理应是同学们应具备的一种基本的数学观念.例如，“列方程解应用题”是初中数学教学的一个重要内容.我们知道，任何一道应用题都包含着三个因素：已知量、未知量以及把已知量和未知量连结在一起的某种相等关系.一个具体的题目就给出了这三个因素相互联系的一种状态.所谓列方程就是列出一个能反映这一状态的含有未知数的等式来.之后，对这个方程及其导出的方程每进行一步同解变形，就有一个新的方程与之对应.显然最初所列方程中的三个因素的联系方式，在这里又呈现出一种新的状态.因此，“列方程解应用题”就体现了状态变换的观念.8数形互化的观念
从最广泛的意义上来理解数学的话，它就是研究两个问题：数和形.数与形是数学大厦最深处的两块奠基石，它们之间有着十分密切的联系，全部数学都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的.两者在内容上互相交叉，在方法上相互渗透、补充、并在一定条件下互相转化，这两种形式的转化，数学中叫做数形结合.在数学教学中培养学生数形互相转化的观念、意识具有重要的意义.案例6：求
1+++„+n.248
21111，，„，n的矩形彩色2482
纸片（n为大于1的整数）.请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算
+++„
+n=.2析解：整体考虑，可知图5中正方形面积为1，如图5所示，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为
这实际上就是++与含有省略号部分的面积之和.24811111
因为+++„+n+n=1，2482211111所以+++„+n=1-n.24822
图
5从解析的过程看，数形结合、转化起了关键的作用.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.数学观念具有丰富的内涵和外延，人们一直在不断的探索和完善中，这是一个内涵不断得到升级的概念.我们本文所陈述的仅是几种重要的数学观念.广大教师应加强对《课标2011年版》和有关课程理论的研究力度，并相互交流，不断提高自己的教育教学水平，努力让学生在获得基础知识，形成基本技能的同时，不断提高用数学的眼光、思想去观察、分析客观世界的数学能力，从而形成相应的数学观念.
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