排列典型例题解析(一)_排列组合经典例题解析

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排列典型例题解析

（一）【例1】写出从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，并指出有多少种不同的排列.分析：列举法是解排列组合题的常用方法.解：abc acb bca bac cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb共24种.说明：只有当元素完全相同，并且排列顺序也完全相同时，才是同一排列，元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列.【例2】计算下列各题.（1）A;(2)A;(3)21566An-1 An-mAn-1n-1m-1nm;(4)1!+2·2!+3·3!+„+n·n!;(5)

12!23!34!n1n!.分析：准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关键.2解：（1）A15=15×14=210.(2)A6=6×5×4×3×2×1=720.6(3)原式==(n1)!(nm)!(n1)![n1(m1)]!·(n－m)!·

11(n1)!

·(n－m)!·

(n1)!=1.(4)原式=(2!－1!)+(3!－2!)+(4!－3!)+„+ [(n+1)!－n!]=(n+1)!－1!.(5)n1n!11!=nn!－+1n!12!=

1(n1)!－

1n!1，+„+

1(n1)!原式=－12!－

13!+

13!－

4!－

1n!=1－

1n!.说明：本题（4）、（5）相当于数列求和问题，要根据通项灵活拆项，灵活运用下列公式： n!=n(n－1)!，n·n!=(n+1)!－n!，3【例3】解方程：A42x1=140Ax.n1n!=

1(n1)!－

1n!，可以使问题解决得简单快捷.分析：利用排列数公式将方程转化为关于x的代数方程即可求解.解：根据原方程，x(x∈N*)应满足根据排列数公式，原方程化为

（2x+1)·2x·(2x－1)(2x－2)=140x·(x－1)·(x－2).∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，得（2x+1)(2x－1)=35(x－2)，即4x2－35x+69=0.解得x=3或x=5∴原方程的解为x=3.说明：定义域是灵魂，对于排列数Amn要注意n、m∈N*，m≤n.342x14,x3.解得x≥3.（因x为整数，应舍去）.xx2【例４】解不等式：A9>6A9.分析：利用排列数公式将不等式转化为关于x的不等式即可求解.解：原不等式即9!(9x)!>

269!(9x2)!，其中2≤x≤9，x∈N*，即(11－x)(10－x)>6，∴x－21x+104>0.∴(x－8)(x－13)>0.∴x13.但2≤x≤9，x∈N*，2≤x

)A.30种

B.360种

C.720种

D.1440种 分析：本题是排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和六个人站成一排照相一共有多少种不同排法的问题完全相同.解：不同的排法总数为A6=6×5×４×3×2×1=720(种）.6说明：我们要从事件的本质入手，抓住模型本质，不能只看表象.【例6】a，b，c，d，e，f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法.对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式： A的算式是121111144A66；B的算式是（A1+A2+A3+A4+A5）A4；C的算式是A6；D的算式是15A44.上面四个算式是否正确？正确的加以解释；不正确的说明理由.分析：解答排列题往往是一人一法，我们要从多角度思考，从不同角度分析问题.解：A中很明显，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明A的算式正确.B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到“占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位的方法数是A15，当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A14，„„当a占据第5个位置时，b占位的方法数是A1b占位后，再排其他四人，他们有A41，当a、4种排法，可见B的算式是正确的.4C中的A6可理解为从6个位置中选4个位置让c，d，e，f占据.这时，剩下的两个位置依前后顺序应是a，b的.因此C的算式也正确.D中把6个位置先圈定两个位置的方法数为C6；这两个位置让a、b占据，显然，a、b占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A44种排法.可见，D的算式是对的.（下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法）上面四个算式都正确.说明：解答排列、组合题要注意一题多解的练习.【例7】八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

分析：对于排列问题我们往往直接考虑“甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排”，也可以间接考虑其反面.解法一：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙坐在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A2A1A5+A2A1A5=8640（种）.425445解法二：采取“总方法数减去不合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数，看成“总方法数”，这个数目是A1A7；在这种前提下，不合题意的方法是“甲47坐第一排，且乙、丙分坐两排的八人坐法”.这个数目是A1C1A13A1A5.其中第一个因数4245A1表示甲坐在第一排的方法数，C1表示从乙、丙中任选一人的方法数，A13表示把选出的42这个人安排在第一排的方法数，下一个A14则表示乙、丙中尚未安排的那个人坐在第二排的方法数，A55就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为

711115A14A7－A4C2A3A4A5=8640（种）.说明:直接法与间接法是我们考虑问题的两种常见思维方式，我们要根据情况合理选择.【例8】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？

分析：对于“第一节不排体育，最后一节不排数学”这一限制条件，正难则反，适合用间接法考虑.解法一：6门课总的排法是A6其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A56，5种排法，如图10－2－4中Ⅰ；数学排在最后一节有A55种排法，如图10－2－4中Ⅱ，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，如图10－2－4中Ⅲ，这种情况有A44种

54排法.因此符合条件的排法应是A66－2A5+A4=504（种）.Ⅰ ⅢⅡ 图10－2－4 说明：解答排列、组合题用间接法要注意不重复也不遗漏.【例9】三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

分析：解决排列、组合（组合下一节将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置.有两个以上约束条件，往往先考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他的元素.解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A6种不同排法.对于其中的每一种排法，6三个女生之间又都有A3种不同的排法，因此共有A6·A3=4320种不同的排法.363（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空挡，这样共有4个空挡，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置553中选出三个来让三个女生插入都有A36种方法，因此共有A5·A6=14400种不同的排法.（3）法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的22个，有A5种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有2A5·A66=14400种不同的排法.法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有A8从中扣除女生排8种不同的排法，17在首位的A13A77种排法和女生排在末位的A3A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来.由于两端都是女生有A262A13A77+A3A6=14400种不同的排法.23A

66种不同的排法，所以共有A

88－法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有5A36A5=14400种不同的排法.（4）法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条

1件限制了，这样可有A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有A3种排法，这时末位就只

17116能排男生，这样可有A13A15A66种不同的排法，因此共有A5A7+A3A5A6=36000种不同的排法.2法二：3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法A3A6862种，就能得到两端不都是女生的排法种数A8－A3A6=36000种不同的排法.86说明：间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适当的好方法，要认真搞清在什么条件下使用，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法.【例10】排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 分析：本题有限制条件，是“不相邻”，可以采用插空法.解：（1）先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放544入舞蹈节目，共有A6种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有A5·A6=43200种方5法.（2）先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供

545个歌唱节目放入有A55种方法，所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A4·A5=2880种方法.说明：对于“不相邻”排列问题，我们往往先排无限制条件元素，再让有限制元素插空排列.否则，若先排有限制元素，再让无限制条件元素插空排时，往往有限制元素有相邻情

4况.如本题（2）中，若先排歌唱节目有A55，再排舞蹈节目有A6，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求.【例11】用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8.从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数；个位数是2、4、6、8的四位偶数.这是因为零不能放在千位数上，由此得解法一和解法二.如果从千位数入手，四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三.如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位奇数的个数，用排除法，得解法四.解法一：当个位数上排“0”时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选三个来排列，故有A39个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任意选

12一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步计数原理有A14A8A8个.112没有重复数字的四位偶数有A39+A4A8A8=504+1792=2296（个）.解法二：当个位数字排0时，同解法一有A3个；当个位数字是2、4、6、8之一时，9千位、百位、十位上可从余下的九个数字中任选三个的排列中减去千位数是“0”的排列数，2得A1（A3－A8）个.492没有重复数字的四位偶数有A3+A1（A3－A8）=504+1792=2296（个）.949解法三：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一

2个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列，有A15A15A8个；

千位数上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任选一个（包括0

2在内），百位、十位上从余下的八个数字中任意选两个作排列，有A1A1A8个.4422没有重复数字的四位偶数有A15A15A8+A1A1A8=2296（个）.44解法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数.没有重复数字的4四位数有A10－A3个.92411其中四位奇数有A15（A13－A8）个，没有重复数字的四位偶数有A10－A39－A5（A32－A8）=2296（个）.说明：这是典型的简单具有条件的排列问题，上述四种解法是最基本、常见的解法，要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用.【例12】在3000与8000之间，（1）有多少个没有数字重复且能被5整除的奇数？（2）有多少个没有数字重复的奇数？

分析：本题关键是按所求条件进行准确分类.解：（1）能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件千位上可以是3、4、6、7中的2任意一个，其余两个数字可以是余下数字中的任意两个，共有4×A8=224（个）.（2）法一：按题目要求，个位可以是1、3、5、7、9中的任意一个，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一个.因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类：

2第一类：个位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中的任意一个，这样的奇数有5A8A12=560（个）；

第二类：个位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中与个位不重复的数字中的任意一

2个，满足上述条件的奇数有3A12A8=672（个）.212由分步计数原理，知所求奇数为5A8A12+3 A2A8=560+672=1232.法二：按千位数字分类：第一类：千位是4、6中的一个，那么个位可以是1、3、5、7、129中的任一个，这样的奇数有A1； 4A5A8=560（个）第二类：千位是3、5、7中的任意一个，个位可以是1、3、5、7、9中与千位数字不重

2复的四个数中的一个，这样的奇数有A13A1A8=672（个）.422满足条件的奇数个数为A1A15A8+ A13A1A8 =560+672=1232（个）.44说明：在解答排列、组合问题时，确定不同的分类标准，就会有不同的分类方法，不管怎样分类，要尽量做到不重不漏.【例13】 一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m个车站(m>1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？

分析：首先由题意列出方程，再根据m、n为整数求出即可.解：原有车站n个，原有客运车票A2种，又现有(n+m)个车站，现有客运车票A2种.nmn∵A2－A2=62，∴(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62.nmn∴n=31m－212(m－1)>0，2即62>m－m，∴m－m－621，从而得出1

12249.∴1

即m=2时，有n=15；

当m=3、4、5、6、7、8时，n均不为整数.故只有n=15时，m=2，即原有15个车站，现有17个车站.说明：上题虽是常用解法，但运算量较大，应根据m、n为整数利用整除性来解决.∵(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62，∴m2+2mn－m=62.∴m（m+2n－1)=62.把62分解为1×62（舍去），2×31，由题意知m2,m2n131或m31,m2n12.解得m2,m31,（舍去）.n15,n14【例14】用0、1、2、3、4五个数字组成没有重复数字的五位数，并把它们从小到大排列.问23140是第几个数？

分析：把这些五位数从小到大排列，可先求出比23140小的万位与千位为1×、20、21的入手，再排万位与千位为23的.解：分以下几类：

3①1××××型的五位数有A44=24个;②20×××型的五位数有A3=6个;③21×××型的五位数有A33=6个.这样，这三类数共36个.在型如23×××的数中，按从小到大的顺序分别是：23014、23041、23104、„，可见23140在这一类中，位居第4位.故从小到大算23140是第40个数.说明：本题是一个计数问题，需要按要求细心排列.【例15】用数字0、1、2、3、4、5，（1）可以组成多少个数字不重复的六位数？

（2）试求这些六位数的和.分析：本题关键是如何合理安排程序求出这些六位数的和.解：（1）因为0不能作首位，故分两步，得5A5=600（个），或A6－A5=720－120=600565（个）（即六个元素的全排列，再减去首位是0余下五个元素的全排列）.（2）求这些六位数的和，当然不能把600个数一个一个写出，再求它们的和，应该像小学生做竖式加法一样，先个位相加，再十位相加，等等.个位是1的数有4×A4个； 4个位是2的数有4×A4个； 4与上同样，个位是3、4、5的数均有4×A4个;4个位为0的数有A5个； 5„„

个位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A4与上同样，十位之和为（1+2+3+4+5）·4·A4 4，4，百位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A44，5最高位（十万位）各数字之和为（1+2+3+4+5）·A55=15·A5.这些六位数的和为

15·A5100000+（1+2+3+4+5）·4·A4=15·A5100000+15 5·4（1+10+100+1000+10000）5··4A44·11111.说明：数字排列是一类典型排列，多掌握些数字排列问题，对其他排列就容易理解了.【例16】从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？

分析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1，3，5，7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实数根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.2解：a只能在1，3，5，7中选一个有A14种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A42种，故可组成二次方程的个数为A14·A4=48个，方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，c=0，a，b可在1，3，5，7中任取2个，有A24种；c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能

2取1、3，共有A22个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A2个，故有实根的二次方程22共有A24+A2+2A2=18个.说明：本题第（1）问要注意一元二次方程中二次项系数不为零的限制.本题第（2）问要分c=0和c≠0进行讨论，c≠0时，再对b的取值进行二级讨论，多次分类讨论是排列问题中较高的能力要求.【例17】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A.234

B.346

C.350 分析：本题考查有限制条件的排列组合问题.D.363 解：前后两排共23个座位，有3个座位不能坐，故共有20个座位两人可以坐，包括两人相邻的情况，共有A2种排法；考虑两人左右相邻的情况，若两人均坐后排，采用捆绑法，20把两人看成一体，共有11A2种坐法;若两人坐前排，因中间3个座位不能坐，故只能坐左边24个或右边4个座位，共有2×3×A2种坐法.故题目所求的排法种数共有A2－11A2－2×20223×A2=346(种).2答案:B

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