一元二次方程公式法、配方法_一元二次方程式公式法

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一元二次方程公式法、配方法

【主体知识归纳】

4．直接开平方法形如x＝a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x＝±，即x1＝a，x2＝－a．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

2b2b4ac25．配方法将一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)化成(x＋)＝的形式后，当b－4ac≥0时，用直22a4a2

2接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：

(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；

(2)将常数项移到方程右边；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；

(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．

b24ac26．公式法用一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝(b－4ac≥0)，这种解一元二2a2

次方程的方法叫做公式法．

【例题精讲】

2例1：用配方法解方程2x＋7x－4＝0．

剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是：

(1)将二次项系数化为1；

(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；

2(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x＋a)＝k的形式，然后用开平方法求解．

解：把方程的各项都除以2，得x＋

即(x＋277772728122x－2＝0．移项，得x＋x＝2．配方，得x＋x＋()＝2＋()＝，22244167281)＝． 416

817791＝±，x＋＝±．即x1＝，x2＝－4． 164442解这个方程，得x＋

说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式

22的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x－4x＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x－

224x＋3＝2x－4x＋2＋1＝2(x－1)＋1．

例6：用公式法解下列方程：

2(1)2x＋7x＝4；

2解：(1)方程可变形为2x＋7x－4＝0．

22∵a＝2，b＝7，c＝－4，b－4ac＝7－4×2×(－4)＝81＞0，77242(4)791∴x＝．∴x1＝，x2＝－4． 22

42【同步达纲练习】 1．选择题

(1)下列方程中是一元二次方程的是()

x2x

＝0B．

3(2)下列方程不是一元二次方程的是()

A．2＝0

xx

A．

C．x＋2xy＋1＝0

D．5x＝3x－

112

x＝1B．0.01x2＋0．2x－0.1＝0C．2 x2－3x＝02

(3)方程3x－4＝－2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()

D．

21x－x＝(x2＋1)22

A．3，－4，－2B．3，2，－4C．3，－2，－4D．2，－2，0

(4)一元二次方程2x－(a＋1)x＝x(x－1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a的值为()A．－1B．1C．－2D．2

(5)若方程(m－1)x＋x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()

A．m≠0B．m≠1C．m≠1且m≠－1D．m≠1或m≠－1(6)方程x(x＋1)＝0的根为()

A．0B．－1C．0，－1D．0，1

(7)方程3x－75＝0的解是()

A．x＝5B．x＝－5C．x＝±5D．无实数根

(8)方程(x－5)＝6的两个根是()A．x1＝x2＝5＋6

B．x1＝x2＝－5＋6 D．x1＝5＋6，x2＝5－6

C．x1＝－5＋6，x2＝－5－6

(9)若代数式x－6x＋5的值等于12，那么x的值为()

A．1或5B．7或－1C．－1或－

5(10)关于x的方程3x－2(3m－1)x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于()A．2

B．－

D．－7或1

C．－2D．2

2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：

(1)4x＋1＝9x；(2)(x＋1)(x－3)＝2x－3；(3)(x＋3)(x－3)＝2(x－3)；

(4)3y－2y＝2y－3y＋5．

3．当m满足什么条件时，方程(m＋1)x－4mx＋4m－2＝0是一元二次方程?当x＝0时，求m的值． 4．用直接开平方法解下列方程：(1)x＝

9； 4

(2)x＝1．96；(5)(x－1)＝144；

(3)3x－48＝0；(6)(6x－7)－9＝0．

(4)4x－1＝0；

5．用配方法解下列方程：

(1)x＋12x＝0；

(4)9x＋6x－1＝0；

(2)x＋12x＋15＝0

(3)x－7x＋2＝0；

(5)5x－2＝－x；

(6)3x－4x＝2．

6．用公式法解下列方程：(1)x－2x＋1＝0；

(5)4x－1＝0；

(2)x(x＋8)＝16；(3)x－

x＝2；3

(4)0．8x＋x＝0．3；

(6)x＝7x；

(7)3x＋1＝23x；

(8)12x＋7x＋1＝0．

7．(1)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与4x＋1的值相等?

(2)当x为何值时，代数式2x＋7x－1与x－19的值互为相反数?

8．已知a，b，c均为实数，且a22a1＋｜b＋1｜＋(c＋3)＝0，解方程ax＋bx＋c＝0．

9．已知a＋b＋c＝0．求证：1是关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根．

10．用配方法证明：

(1)3y－6y＋11的值恒大于零；(2)－10x－7x－4的值恒小于零．

11．证明：关于x的方程(a－8a＋20)x＋2ax＋1＝0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程．

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)B(2)D(3)B(4)B(5)C(6)C(7)C(8)D(9)B(10)D

2．(1)9x2－4x－1＝0，9，－4，－1；(2)x2－4x＝0，1，－4，0；(3)x2－12x＋27＝0，1，－12，27；(4)(－2)y2＋(－2)y－5＝0，－2，3－2，－．

3．m≠－1，m＝ 4．(1)x1＝，x2＝－；(2)x1＝－1．4，x2＝1．4；(3)x1＝－4，x2＝4；(4)x1＝－，x2＝；(5)x1＝13，x2＝－11；(6)x1＝，x2＝． 5．(1)x1＝0，x2＝－12；

(2)x1＝－6－21，x2＝－6＋21；

741741，x2＝； 221212

(4)x1＝，x2＝；

33141141

(5)x1＝，x2＝；

101022(6)x1＝，x2＝．

3232

1212

2353

(3)x1＝

6．(1)x1＝x2＝1；

(2)x1＝－4－42，x2＝－4＋42；

597513，x2＝；(4)x1＝，x2＝－； 664211

(5)x1＝，x2＝－；(6)x1＝0，x2＝7；

(7)x1＝x2＝；

311

(8)x1＝－，x2＝－．

7．(1)x＝－2或x＝；

(2)x＝－4或x＝．

(3)x1＝

8．x1＝

11，x2＝． 22

9把1代入ax2＋bx＋c中，得ax2＋bx＋c＝a＋b＋c＝0

∴1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

10(1)∵3y2－6y＋11＝3y2－6y＋3＋8＝3(y－1)2＋8

又(y－1)2≥0，∴3(y－1)2＋8＞0．即3y2－6y＋11的值恒大于零．(2)∵－10x2－7x－4＝－10(x2＋

72111)＋］

40020

7111

＝－10(x＋)2－．

20407

又－10(x＋)2≤0，20

1117

∴－10(x＋)2－＜0．

4020

x＋)1010

＝－10［(x＋

即－10x2－7x－4的值恒小于零．

11∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程

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