4.7 二倍角的正弦、余弦、正切(一)_二倍角的正弦余弦公式

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高中数学教案

第三章 三角函数（第19课时）

课

题：4.7二倍角的正弦、余弦、正切

（一）教学目标：

1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.教学重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用. 教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.授课类型：新授课 课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin()sincoscossin,(R,R)

(S)cos()coscossinsin,(R,R)

(C)

tan()tantan,(,,k,kZ)(T)

1tantan

2二、讲解新课：

二倍角公式的推导

在公式(S)，(C)，(T)中，当时，得到相应的一组公式：

sin22sincos；(S2)

cos2cossin；(C2)

tan22222tan；(T2)21tan因为sincos1，所以公式(C2)可以变形为

)s12sin(C2

cos22cos1或

co2)，(T2)统称为二倍角的三角函数公式，简公式(S2)，(C2)，(C2称为二倍角公式．

探究：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三

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第三章 三角函数（第19课时）

角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．

（２）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，其它如4是2的两倍，3是的两倍，3是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以

22436应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当

2时，就是的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式．尤其是“倍角”的意义是相对的.（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．

)，(T2)成立的条件是:

公式(T2)

（4）公式(S2)，(C2)，(C2成立的条件是R,k2,k4,kZ．其他R.（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）

（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： cos21cos2,2sin21cos2 这两个形式今后常用.2

三、讲解范例：

例不查表．求下列各式的值

（１）sin15cos15；

（２）cos28sin28；

2tan22.5212sin7

5（３）；

（４）．

1tan222.5解:（１）sin15cos15=11sin30；

24＝cos（２）cos28sin2842； 22tan22.5tan451；

（３）＝21tan22.5（４）12sin75＝cos15023． 2

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第三章 三角函数（第19课时）

例２不查表．求下列各式的值

5555cos)(sincos)（２）cos4sin4

2212121212112（３）

（４）12coscos2

1tan1tan（１）(sin解:（１）(sin（２）cos455555553cos)(sincos)sin2cos2cos 12121212121262sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos 222222112tantan2（３）21tan1tan1tan（４）12coscos212cos2cos12 例３若tan  = 3，求sin2  cos2 的值。2222sincossin2cos22tantan217

解：sin2  cos2 =

5sin2cos21tan25,(,)，求sin2，cos2，tan2的值。132512,(,)

∴cos1sin2

解：∵sin13213120

∴sin2 = 2sincos = 

169119120cos2 = 12sin

tan2 = 

169119例4 已知sin

四、练习

（公式巩固性练习）求值： 1．sin2230’cos2230’=12221cossin45

2．2cos

824423．sin

4．8sin22cos2cos 88421coscoscos4sincoscos2sincossin ***2126

2五、小结

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第三章 三角函数（第19课时）

要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.

二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.六、课后作业：

1.若270°＜α＜360°，则

1111cos2等于(Ｄ)2222 B.cos C.－sin Ｄ.－cos 222222解：∵cos2α＝2cosα－1 ∴cosα＝2cos－1

2A.sin∴1111111111cos2(2cos21)cos2 2222222222又∵270°＜α＜360° 135°＜

＜180° 2∴原式＝1111cos(2cos21)cos2cos 22222222.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

解：∵sin10°＝cos80° ,sin50°＝cos40°, sin70°＝cos20° ∴原式＝1cos80°cos40°cos20° 2＝1cos80cos40cos20sin201×2sin202sin2011111cos80sin80sin16012212221 2sin202sin20164

2cos80cos40sin4012

3.求证：8cosθ＝cos4θ＋4cos2θ＋3

1cos22) 21cos42＝2（cos2θ＋2cos2θ＋1）＝2（）＋4cos2θ＋2

4证明：8cosθ＝8（cosθ）＝8(＝cos4θ＋4cos2θ＋3

七、板书设计（略）

八、课后记：

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