工程数学(线性代数与概率统计)第三章典型例题分析_线性代数典型例题解析

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第三章

例1 设A为n阶方阵，若存在正整数k和向量，使Ak0，且Ak10.证明：向量组,A,,Ak1线性无关.证明：（利用线性无关定义证明）假设有常数1,2,,k，使得

k1AA0（1）12k将（1）两边左乘Ak1，可得

1Ak12AkkA2k20

由已知条件A0，可知上式从第二项全等于零，所以1A又由条件Ak1kk10，0，所以10.类似地，将（1）两边左乘Ak2，可得20；

k1类似地可证得34k0，所以向量组,A,,A线性无关.例2 设向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关，问：

（1）1能否由2,3线性表示？证明你的结论;（2）4能否由1,2,3线性表示？证明你的结论.解：（1）1能由2,3线性表示.证明：由于向量组2,3,4线性无关，那么其部分组2,3也线性无关。又由已知条件有1,2,3线性相关，故1能由2,3线性表示.(2)4不能由1,2,3线性表示.证明:假设4能由1,2,3线性表示,即存在不全为零的常数1,2,3,使得

4112233

由(1)的结论,我们可以设1k22k33,代入上式,可得

4(21k2)2(31k3)3

即4可由2,3线性表示,从而2,3,4线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4不能由1,2,3线性表示.例3 设两向量组

(1)11,2,3,23,0,1,39,6,7(2)10,1,1,2a,2,1,3b,1,0 TTTTTT已知两向量组的秩相等,且3能由1,2,3线性表示,求a,b.解:令A(1,2,3),B(1,2,3)

由于矩阵A已知，可以先对A进行初等变换求秩.1391391392r1r250612A2060612rr3233rr3171301020000因此r(A)2,且1,2为(1)的一个极大无关组.由已知条件两向量组的秩相等,所以r(B)2,从而B0,即

0B11所以aa21b1ab0 03b.又由条件能由,,线性表示而1,2为(1)的一

123个极大无关组.所以3能由1,2线性表示,则1230,即

13b2b100123201,解得 310b5,所以有ab5.例4 求向量组11,1,1,3,21,3,5,1,TTTT32,6,10,a,44,1,6,10, 53,2,1,c的秩和一个极大无关组.解:对以1,2,3,4,5为列构成的矩阵A,做初等变换

T11A131102000012351240a2610a3112061010c04313107708c1104126412002412240432431a62a20314c9 31B1c3当a=2且c=3时, r(B)3,B中第1、2、4列线性无关，此时向量组的秩为3，1,2,4是一个极大无关组；

当a2时，r(B)4，B中第1、2、3、4列线性无关，此时向量组的秩为4，1,2,3,4是一个极大无关组；

当c3，r(B)4，B中第1、2、4、5列线性无关此时向量组的秩为4，1,2,4,5是一个极大无关组.例5设向量组（1）1,2,3,4的秩为3；向量组（2）1,2,3,5的秩为4，证明:向量组1,2,3,54的秩为4.证明：（要证明1,2,3,54的秩为4，可通过证明1,2,3,54线性无关来得到想要的结论）

由向量组（2）的秩为4，可知1,2,3线性无关，又由向量组（1）1,2,3,4的秩为

3，可知1,2,3,4线性相关，从而4可由1,2,3线性表示，即存在不全为零的常数l1,l2,l3，使得4l11l22l33，不妨设k11k22k33k4(54)0，将4代入，可得

(k1k4l1)1(k2k4l2)2(k3k4l3)3k450

由于1,2,3,5线性无关，所以

k1k4l10kkl0242k1k2k3k40 k3k4l30k40故1,2,3,54线性无关，从而该向量组的秩为4.例6 设向量组1,2,,m(m1)的秩为1,2,,m的秩为r

r，123m，213m，，m12m1，证明向量组

证明:(由推论等价的向量组有相同的秩，此题只需证明两个向量组等价即可)由已知1,2,,m可由1,2,,m线性表示，且有下式成立

12m(m1)(12m)

从而ii12m于是有i1(12m)，m11(12m)i，即1,2,,m也可由m11,2,,m，故向量组1,2,,m与向量组1,2,,m等价，从而他们的秩相等，从而向量组1,2,,m的秩为r.

工程数学(线性代数与概率统计)复旦大学出版社,第二章典型例题分析

第 二 章例111设A为三阶方阵，A为其伴随矩阵， A，求(A)110A*.23*1解：因为A可逆，定理3.1A1**A,AA1AA,代入原式得，11(A)10A*3A110A1A2A18A18*2163例2 32nA设，求A.03解：由于A的主对角元素......

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