桂林理工大学杨秀前高等数学(三)复习资料由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“桂林理工大学高数”。
高等数学(三)复习资料
1.求由曲线yex2,x1,y0及x0所围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积.解V1y20xydx21x20xedx10ex2dx2ex210(e1).2.求由曲线yxex及直线x1和y0所围成的平面图形绕Ox轴旋转所得的旋转体的体积.11解Vx22xx112x0ydx0xedx2xe200edx12e212e224(e21).3.x计算lim0sint2dtx0xsinx．
解 原式limsinx2x01coslimx2xx0122.2x
4.x2)dudt设f(x)是连续函数,且f(2)2,求lim2tf(ux2(x2)2.2f(u)du解原式limxf(x)1x22(x2)limx222f(2)1.5.2计算50cosxsin2xdx.解原式2267220cosxsinxdx27cosx7.0.6.计算2sin5xcos3xdx0．
2解原式2cosx(sin5xsin7x)dx106sin6x18sin8x0124.7.4计算0tan3xdx．
解原式42140(secx1)tanxdx2tan2xlncosx012(1ln2).8.求由曲线yexe,y0,x0,x2所围图形的面积.解S10(eex)dx21(exe)dx(exex)1(exex)201e22e1.9.求由曲线yex,yex与直线x1所围图形的面积.解曲线yex与yex交于点(0,1).所求面积A 1(exex)dx(exex)1e100e2.10.求极限ysin2xxlim0yxy11.0
解2xysin2x(xy11)xlimysin0xlimxy.y0xy11y00
11.求极限limxyexx0y0416xy.xyex解limxyex(416xy)xy00416xyxlimy0xy8.0
12.证明lim2xyx0xy不存在.y0
证由于2xyxkx2kxlim0ykxxylim2x0xkx1k与k有关,所以原式极限不存在.13.试证明极限x2yxlim0x4y3不存在.y0
证由于limx2ylimkx3k1x0x4y3x0x4k3x3limx0xk3k2ykx0与k有关,故极限xlimx2y04不存在y0xy3.14.证明极限limx2不存在xy0x2y2.0
证令ykxx2x21由于limx02ykxxy2limx0x2k2x21k2与k有关,则原式极限不存在.x2求极限lim11xyxyax.解因为已知极限存在,故x2原式limlim11xyxyaxxxxlimxae1e.16.求极限limx2y2sinx2y2xy0.0(x2y2)3
解令tx2y2.则原式limtsint001costt0t3tlim03t200sint1tlim06t6.17.设函数zz(x,y)由zxxy0et2dt所确定,试求zzx,y.解原式zxxy0et2dt两边分别对x,y求偏导得zx1ye(xy)2,zxye(xy)21,z()2yxexy.18.设函数zx4y44x2y2,2求z2z2x2,zy2和xy.解zzx4x38xy2,y4y38x2y;22所以zx212x28y2;zy212y28x2;2zxy16xy.求函数zxyt20edt的偏导数.解z(xy)2x2y2xeyyex2y2,zyxe.20.设f(x,y)xyx3y3x2y2,(x,y)(0,0),求fx(0,0),fy(0,0).0,(x,y)(0,0)解flimf(0x,0)f(0,0)x0xlimxx(0,0)x0x1;fy(0,0)limf(0,0y)f(0,0)y0ylimyy0y1.21.x2y2)sin10试证:f(x,y)(x2y2,x2y2,在(0,0)处0,x2y20偏导数存在.证limf(x,0)f(0,0)x0xlimx0xsin1(x)20fx(0,0),同理fy(0,0)0.22.求f(x,y)2xy3x22y210的极值点,并求其值.解fx2y6x0f).y2x4y0,得(0,0Afxx(0,0)6,Bfxy(0,0)2,Cfyy(0,0)4.B2AC4240,故在(0,0)处取得极大值f(0,0)10.23.求函数f(x,y)(6xx2)(4yy2)的极值.解fx(62x)(4yy2),fy(6xx2)(42y),解fx0与fy0得驻点(0,0),(0,4),(3,2),(6,0),(6,4),fxx2(4yy2),fyy2(6xx2),fxy4(3x)(2y),fxx(3,2)8,fxy(3,2)0,fyy(3,2)18满足fxxfyyfxy1440且fxx80,故f(3,2)36为极大值.24.求函数zx2xyy22xy的极值点.解由zx2xy20zyx2y10,解得驻点(1,0).Azxx(1,0)2,Bzxy(1,0)1,czyy(1,0)2.ACB230,且A0,故函数在(1,0)处取极小值1,即(1,0)是所求的极小值点.25.计算二重积分xydxdy,其中D是由曲线yx2,直线y0,x2D所围成区域.解原式2x20xdx0ydy1220x5dx163.26.计算二重积分xydxdy,其中D为由yx,y2x,x4所围D成的区域.解原式4dx2xydy430xx02x2xdx3847.27.判别级数2(1)nn12n的敛散性.解un2(1)n32n2n而3u收敛.n12n收敛,故n1n
28.判别级数(n!)2n1(2n)!的敛散性.解limun1[(n1)!]2(2n)!1nunnlim(2n1)!(n!)241,故级数收敛.证明级数(1)nn132n1n收敛.证记un132n1n,则un1unun0(n)故原级数收敛.30.级数(1)nn2n2n是否收敛？是否绝对收敛？为什么？解记un1n2n,则un1n2n1un(n1)2n12(n)于是原级数绝对收敛, 从而收敛.31 判别级数(1)n1sinnn1n3/2是否收敛.若收敛是绝对收敛还是条件收敛?解u1n(1)n1sinnn3/2,|un|n3/2vn.因vn收敛,故un绝对收敛.n1n1
32.求级数nxn1在(1,1)内的和函数.n1
解s(x)nxn1x2nxn1n1n1x2xnx2xx2n11x(1x)2.33.求级数1n1n2n的和函数.解构造1n2nxn,易求出其收敛域为[2,2).n11x1nn1n2nxn0n1n2nxdxx1xnx20xn12dx1x/0x1x/2dxx102xdx[ln2ln(2x)],由和函数在收敛域内的连续性,所以1n1n2nxlim1[ln2ln(2x)]ln2.34.求级数n(n1)n12n的和.解考虑级数n(n1)xn,n收敛区间(1,1),1则s(x)n(n1)xnxn1xn1n1xx22x1x(1x)3,故n(n1)n12ns128.35.求微分方程(1x)y12ey的通解.解eydydx2ey1x积分得通解(x1)(2ey)C.36.求微分方程y2y1的通解.解ye2dx(e2dxdxC)e2x(e2xdxC)e2x(1e2xC)12x22Ce.37 求微分方程xdydxylny0的通解.解dydxylnyx,lnlnylnxlnC,lnyCx,yeCx.38.求方程(1x2)dy2xydx0的通解.解dy2xy1x2dx0,lnyln(1x2)lnC,y(1x2)C.39.求微分方程ylnxdxxlnydy0的通解.解lnxxdxlnyydy0(lnx)2(lny)2C.40.求微分方程yycosx的通解.解所给方程为分离变量方程dyycosxdx,通解为yCesinx.41.解方程dydx(cotx)ycscx.解yCcscxecotxdxdxecotxdx{Cx}1xCsinxsinxsinx.
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