山东大学网络学院高等数学三_高等数学山东大学

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高等数学模拟卷3

一

求下列极限 lim1nntgn

解：不存在xalim＝1xaxaxa＋xa2 求lim=lim ＝xaxaxaxalimax1xa－xa1lime2xx0 1lime2x0x0113 求limex02x=limex02x4limsinmxsinnxx0limmxnxx0mn

二已知xf(x)2xx0x0，讨论f（x）在x0处的导数

解：lim＋x0f0xf0xf0xf0xlim＋x0xx210

x0lim-lim-x0xxf(x)在x0不可导三

计算下列各题

1、已知ytan(lnx)求y

解：y3tan(lnx).sec2,223,lnx.x12、已知yf(x)，求y

2解： y＝f(x).2x

四 证明

证明：

对于xf(x)dx

0a32a0xf(x)dx3212a02xf(x)dx，(a0)，其中f(x)在讨论的区间连续。

令x2t，则2xdxddt 且xa时ta2，x0时t0 左边xf(x)dx0a321212a0a02tf(t)dt2

xf(x)dx= 右边

证毕。

五

计算反常积分解dx1x2;

原式dx1+x2arctanx ;22

六

求(1y2)dx(arctanyx)dy的通解 解：方程化为dxdy11y2x11y2arctany

此方程为倒线性微分方程

xe1y2dy1(11y12arctanye1y2dy1dyc)

earctany(1y2arctanyearctanydyc)

eearctany(arctanyde(arctanyearctanyc)

arctanyarctanyarctanyec)

所以方程通解为xce

arctanyarctany1

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