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概率论与数理统计教学模式初探*
许丙胜 施庆生 陈晓龙
(南京工业大学 理学院 江苏 南京 210009)摘 要: 本文作者在长期教学实践中摒弃灌输式教学方式，从引导学生兴趣入手采用启发式教学，注意数学模型的建立与求解, 培养学生应用数学的能力和创新意识，灵活使用多媒体等教学手段，取得了良好的教学效果。
关键词: 概率统计 兴趣 启发式教学 创新
Abstract: During the long teaching experience, the authors of this paper abandon the inculcation method, begin with stimulating students interest, apply the heuristic teaching, focus on the mathematical models and problem solving in order to develop students mathematical abilities and skills on its applications and renovations and utilize flexibly teaching methods such as multimedia, acquiring the good effect.Keywords: probability statistics, interest, heuristic teaching, renovation 《概率论与数理统计》是在理工、农林、医卫、经济管理和人文各专业领域内有广泛应 用与重要实践意义的一门数学基础课,它在科学技术与人类实践活动中正在发挥着越来越大的作用和影响,从而引起大家的重视。但是目前教师的授课都普遍存在着重理论、轻应用,缺少这门课程本身的特色及特有的思想方法,造成学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂,思维难于开展,问题难于入手,方法难于掌握。针对这一现象,在教学中,我们认真钻研教材,调整教学实例,从引导学生兴趣入手采用启发式教学，注意数学模型的建立与求解, 培养学生应用数学的能力和创新意识，取得了良好的教学效果。（本文作者参加了南京工业大学《概率论与数理统计》精品课程建设的教学改革项目）
一、注重学生学习兴趣的培养 诺贝尔物理学奖获得者杨振宁说:“成功的真正秘诀是兴趣”。学习是一种相当艰苦的劳动,如果能借助兴趣这位最好的老师,增强求知欲,学生就会表现出“我要学”的主动学习，而不是“要我学”的被动学习；因此,教师在教学中引入概念，介绍背景，讲解例题时若能恰当的引入问题并进行利用，则能极大地激发起学生的学习兴趣。
概率统计是数学的一个分支，有着数学的所有特点：理论、逻辑体系和许多概念，因此使学生觉得抽象、枯燥，但它来源于生活，所以在教学中很多问题的引入，都可以结合实际问题，结合介绍问题产生的背景。例如,在概率统计的第一次课介绍它的起源时,可以从下面的小故事开始:在17世纪的欧洲,一天,甲、乙两名赌徒在街上赌博,他们各拿出相同数目的钱放在一起作为赌注,用掷骰子的方法决定胜负,五局三胜者赢得全部赌注,然而,赌博是违法的,当甲胜两局乙胜一局时,发现警察向他们走来,于是两人匆忙决定按目前胜负情况2:1分配赌注(即甲拿2/3,乙拿1/3),然后各自走散,这个场面刚好被年青的数学爱好者巴斯加看到,并引起他的思考,他认为这样的分法表面上是合理的,而实际上是不合理的;经过深入分析,他得出结论,他把他的想法及结论写信给当时著名的数学家费马,得到了他的充分肯定和赞扬。由此问题,人们开始注意到一些带有偶然性的事件,它发生的可能性的大小,也带有数学规律,从对这些规律的探讨中逐步形成了一个新的数学分支——概率统计,目前这个理论已有了广泛的应用。两个赌徒分配赌注的方法是否合理？如果不合理的话, 那么应该怎么分呢？谁亏了呢?对于这个问题,学生非常感兴趣,这样从一开始就激起了学生的兴趣,并使他们产生要探索是甲亏还是乙亏的欲望,进而产生要学好这门课的欲望。在学到古典概率 *本文得到南京工业大学《概率论与数理统计》精品课程建设基金资助 计算时,让学生们自行去解决上面提到的小故事中甲、乙最终赢全局的概率,同学们兴趣盎然,相互讨论，思索,我们不时地加以分析引导,很多同学都能得出正确结果:甲赢全局的概率为3/4,而乙赢全局的概率为1/4,即故事中的分钱法对甲是亏的。通过这个例子还让学生感到:概率统计课程不但有趣而且他们经过研究,还能自己得出结论,解决一些实际问题,从而树立起学好这门课程的信心。在讲条件概率时,再一次利用以上小故事提出问题,如果没有在前三场比赛中甲先赢两场的条件,那么甲、乙赢全局的概率是相等的,都为1/2,从而引出一个事 件在有没有条件下的概率可能是不同的,这样很自然地引出了条件概率的概念及研究它的必要性。
类似的问题还有“甲、乙、丙三名学生参加考试，采取抽签的方式从 6 套难题和 4 套易题中抽取一套，抽签次序为甲先乙次丙最后，问甲、乙、丙三名学生抽到难题的可能性各有多大？这样的抽签次序是否合理？”和“现在到处可见的彩票（福利彩票、体育彩票等）吸引了很多的人，并且也不时的有人中了大奖，使得很多人争相购买，彩民以什么心态去购买？中奖的可能性有多大？自己编号到底有没有依据和作用？”等等。另外，讲到相关内容时要注意挑选具有趣味性的例题，概率统计来源于实际生活,它本身是一门极具趣味性的科学,有着大量贴近生活，兴趣盎然的实例,但目前大部分教科书都未注意选择这样的例子（我校施庆生等老师编著的《概率论与数理统计》在这方面作了一些有益的尝试）,如果教师照着教科书的例子讲,必然不能引起学生的兴趣；因此,教师必须注意积累，精心挑选要讲的例题,我们挑选的例题基本上都是实际问题,如生活中抓阄问题的合理性,顾客等候服务时间问题,需设多少个服务员能获得最大收益问题,可靠性问题等等;在讲全概率公式的概念、证明、计算时,我们举出以下例子:如果你是一公司经理,公司有四条流水线生产同一产品,它们生产的产量分别占总产量的15%、20%、30%及35%,根据以往经验它们生产的产品不合格率分别为0.05、0.04、0.03及0.02,一个很实际的问题是,你如何得知这批产品的合格率？通过这个例子的分析很自然地引出划分、完备事件组的概念及全概率公式和其证明的整个思路走向。再用此例子引出逆概率（贝叶斯）公式；作为管理学来说,生产产品的质量应与经济利益挂钩,质量好的应奖励,质量差的应惩罚。为此,生产的产品应标上生产者的编号以利于奖罚,如生产一件次品罚款10元,现发现有一次品的生产者的编号已脱落,你应怎样对这4条流水线罚款才合情合理?这是一个常见的管理性问题,现在的大学生经济意识极强,对此类问题很感兴趣。但大部分学生不知如何下手,通过分析、讲解,学生渐渐明白要使罚款合情合理,就要知道在已知一产品为次品的条件下,求这一产品是第i(i=1,2,3,4)条生产线生产的概率,通过求这条件概率引出要讲的逆概率公式及其计算方法。这种从解决实际问题入手引出知识点的教学方法引起了同学们的极大兴趣.二、优化教学过程—－改革创新教学方法和教学媒体
过去各院校进行概率论与数理统计教学,大都采用“一支粉笔、一块黑板、以讲授为主的方法”,教学方法和教学媒体单一,显然不利于人才综合素质和创新能力的培养,不利于推进创新教育。要真正建立起先进、科学的创新教学模式,只有通过系统优化教学设计,针对不同的教学内容,采取各种有效的教学方法,并借助于现代化媒体技术,进行不断改革创新。
1、坚持以启发诱导为核心,经常和学生一起讨论，加强和学生的交流，引导学生积极主动开展思维活动
采用“启发式”和“讨论式”教学方法,培养学生的学习兴趣和求知欲，教师的“一言堂”往往引起学生的思维疲劳、反应迟钝。因此,应该选择适当的内容,充分利用“启发式”和“讨论式”教学方法。美国著名数学家哈尔莫斯说过:“最好的教学方法不光是讲清事实,而应该激励学生自己去思索,自己去动手”；“启发式”教学方法旨在启发学生独立思考,积极思维、融会贯通地掌握知识,提高分析问题、解决问题的能力。教师要善于启发和诱导,调动学生学习的主动性,培养学生的学习兴趣和求知欲。朱熹说:“读书无疑者,须教有疑,有疑者,却教无疑,到这里才是长进”。例如,“相互独立”和“互不相容”是概率论中两个重要概念，初学者往往错误地认为“相互独立”必“不相容”,“不相容”必“相互独立”；为了使学生对这两个概念理解透彻,可引导学生自己去比较两概念的区别；通过学生对定义和含意的比较,最后列表得出二者的区别；随后,给出两个例子进一步说明两个概念的区别。
例1(相互独立的两个事件未必是不相容的)盒子里装有m只白球,k只黑球,做有放回的摸球试验,A表示“第一次摸到黑球”,B表示“第二次摸到白球”；则A和B是相互独立但不是互不相容的。
例2(不相容的两个事件未必是相互独立的)52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁四个人,A表示甲得3张K,B表示乙得两张K；则A与B互不相容但不相互独立。
这样,通过对两个概念的深入讨论,使学生基本上能够明确区分两个概念之间的区别与联系,这时的理解,是经过一番思维活动探索得来的,理解透彻、记忆就牢固,掌握得就比较扎实灵活。
比起启发式,课堂讨论式更能培养学生强烈的求知欲和钻研精神。例如,解决古典概型问题的重要基础是排列组合及加法原理、乘法原理,对于这些原理的运用可通过例子,组织学生采取讨论式加以解决。
例3 从5双不同的鞋子中任取4只,这4只鞋子中至少有两只鞋子配成双的概率是多少? 通过学生们的讨论,集思广益,得出七种解法
[3]。通过学生们的讨论,使学生对一些重要的概念比如逆事件的概率、乘法原理、加法原理等均加深了理解，课堂气氛活跃,使学生保持较长时间的注意力和浓厚的兴趣。同时,由于讨论的不可预见性,教师往往还会遇到预料不到的新问题,这又反过来促进教师,对教师提出了更高的要求，起到了教学相长的效果。
2、突出以学为主,紧紧围绕学的需要组织教学，具体实施了随机实验和多媒体CAI等新的教学方式方法
随机实验,是通过事先设计的某种试验,对随机现象的一些观察数据进行分析处理,建立各种概率、统计模型,对随机现象进行描述和研究的方法。该方法是概率论与数理统计学科研究的重要方法,在教学中运用该方法,可以帮助学生学习和理解相关理论。我们在教学中创设三类随机实验:第一类是物理操作性实验,主要借助于一些物理工具进行实验操作,描述随机现象，如高尔顿实验板,该实验过程本身非常简单,呈现的结果直观形象,但其中包含的有关理论知识非常丰富,可用来完成三个理论问题的教学:一是随机事件在大量重复试验中呈现出的频率稳定性;二是n重贝努里试验中成功次数服从二项分布;三是德莫佛――拉普拉斯中心极限定理。这些理论对学生来说,既复杂又抽象,不易理解和记忆,是教学的难点。利用高尔顿实验,给学生带来了新鲜感,激发了学生学习的兴趣,加深了对理论的理解和记忆,培养了学生的观察能力和用所学理论解释实际随机现象的能力；第二类是统计操作性实验,是以统计抽样检验为主的一类实验方法。我们在置信区间估计和t检验等内容教学中创设了相应的抽样实验进行教学；第三类为计算机模拟实验,是针对不能建立明确概率模型的复杂随机现象,通过计算机模拟“直接”描述的实验方法。如Monte Carlo方法,把一般随机变量、随机事件、随机过程在计算机上的描述,归结为均匀分布随机变数的模拟,通过编程在计算机上实现。针对过去教学媒体单一的情况,我们积极运用以计算机为核心的现代教育技术,改善教学手段,改进教学方式。包括两种类型,一类是计算机统计软件包，根据教学中大量的统计计算和模型分析的需要,采取引进和开发相结合的办法,配备了相应的统计软件包,用于辅助教学，如针对Buffon投针试验,我们自行开发了相应的程序辅助计算的数值;针对常用统计分析需要,我们引进了SAS统计程序；另一类是多媒体教学课件，我们制作了该课程的全程多媒体课件,用必要的图形、声音、图像等多种媒体结合起来,表达重要的教学内容,非常形象、直观。在教学中,教师边讲、边提问、边演示、边运算,学生边听、边看、边想、边回答,便于组织,促进思考,气氛活跃,达到了辅助教学的目的。如我们在讲解连续型随机变量的数字特征时,教学中既有板演推理,又有幻灯片的形象展示。当讲到相关系数时,伴随着打字机的声音大量的随机点散落在大屏幕上,一条直线伴着激光枪的声响射到了随机点中间；这种生动形象的表现手段,增加了教学的趣味性,使学生对两个随机变量的相关性及曲线相关有了一个直观的认识,对两个随机变量相关系数的理解更加准确。
三、融入数学建模
随机现象在现实生活中无处不在，比如降雨概率，晾晒指数，体育彩票，各种保险与投资等问题，都需要将实际问题数量化，然后对研究对象进行抽样，处理抽样结果，最后对研究对象作出判断，以此解决问题，旨在培养学生利用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，也就是培养建模能力。
例如，保险机构是较早使用概率统计的部门之一，保险公司为了恰当估计企业的收支与风险，需要计算各种各样的概率。下面是赔偿金的确定问题：
据统计，某年龄段的健康人在五年内死亡的概率为p0.002,保险公司准备开办该年龄段的人寿保险业务，预计有2500人参加，条件是参加者需交保险金12元，若五年之内死亡，公司将支付赔偿金b元（待定），便有以下几个问题：
（1）确定b，使保险公司期望盈利；
（2）确定b，使保险公司盈利的可能性超过90％；（3）确定b，使保险公司的期望盈利超过1万元；
（4）确定b，使保险公司盈利超过1万元的可能性大于95％；
（5）若b=2000元，确定公司盈利的期望值和盈利都超过2万元的可能性；（6）若b=2000元，预使公司盈利20万元时，每位参保者至少需要交保险金多少元？（7）若b=2000元,预使公司盈利的可能性大于99％时，每位参保者至少需要交保险金多少元？
这一系列问题的解决需要综合运用概率统计知识，给出这样的案例分析题，组织讨论课，通过这一环节加深学生对教学内容的综合性、应用性和创意性的理解、归纳和整合，将有利于增强学习氛围，活跃课堂，激发情绪，开发思维，有利于个人素质和协作能力的培养。
参考文献：
[1] 施庆生，陈晓龙，邓晓卫：概率论与数理统计课程的教学改革与实践，南京工业大学学报（社会科学版），2004年第3期
[2]陈晓龙，施庆生，邓晓卫：概率论与数理统计[M].南京:东南大学出版社,2003.[3]章子霞,彭晓华：概率论与数理统计习题解答[M].徐州:中国矿业大学出版社,1992.[4]李裕奇：概率论与数理统计[M].北京:国防工业出版社,2001.[5]吴群英：《概率统计》课程中采用兴趣与启发式教学,广西高教研究,2001年第3期
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