概率论与数理统计 第一章_概率论与数理统计章节

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第一章 概率论的基本概念

【基本要求】

1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本运算；

2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性；

3、理解古典概率的定义，了解概率的定义

4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算；

5、理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算；

6、理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。

【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的计算及事件的独立性

【本章难点】判别事件概率的类型；注意‘有放回抽样’与‘无放回抽样’的区别；条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用

【学时分配】16学时 【授课内容】 引言

1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）：

在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a，b的矩形，其面积必为ab等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出辽宁石油化工大学

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现“反面”，事先不能作出确定的判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出一种偶然性。

概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。其研究对象为：随机现象

研究内容为：随机现象的统计规律性。2.随机现象的统计规律性：

以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%，这正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖，总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发现其内部隐藏着的规律。

§1.1 随机试验

下面具一些试验的例子：

E1：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情况。

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。辽宁石油化工大学

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E5：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数

E6：在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。

上面举出了七个试验的例子，它们有着共同的特点。例如，试验E1有两种可能的结果，出现H 或者出现T，但在抛掷之前不能确定出现H还是出现T，这个试验可以在相同的条件下重复地进行。又如试验E6，我们知道灯泡的寿命（以小时计）t0，但在测试之前不能确定它的寿命有多长。这一试验也可以在相同的条件下重复进行。概括起来，这些试验具有以下的特点：

① 可以在相同的条件下重复进行；

② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ③ 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

在概率中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写的字母‘E’表示。本书中以后提到的试验都是指随机试验。

我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。

§1.2 样本空间.随机事件

（一）样本空间

由随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即．．E的每个结果，称为样本点。

下面写出§1.1中试验Ek(k1,2,,7)的样本空间Sk： ｛H，T｝ S1：｛HHH，HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT｝ S2：｛0, 1, 2, 3｝ S3：｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝ S4：辽宁石油化工大学

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S5:{0,1,2,3,} ｛t|t0｝ S6：｛(x,y)|T0xyT1｝，这里x表示最低温度，y表示最高温度。并设这一地区的温度S7：不会小于T0也不会大于T1.注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描述法。

②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也可以是无限个。

③在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如，在E2和E3中同时将一枚硬币连抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样。

（二）随机事件

我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。用字母A，B，C等表示。显然它是由部分样本点构成的。

如在上面试验E2中，若我们关心出现一次正面的情况，满足这一条件的样本点组成S2的一个子集A={HTT，THT，TTH}，那么A称为试验E2的一个随机试验。

下面了解以下几个概念：

1．事件发生：在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。2．基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。例如，试验E1有两个基本事件{H}和{T}；E2有8个基本事件。

3．必然事件：样本空间S所包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。辽宁石油化工大学

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4．不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件。注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事件，但为了研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。

有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算。

（三）、事件间的关系 1.事件的包含：

当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，记为AB或BA。

即AB{若A,则B}，用文（Venn）图表示为： 反之，BA若B不发生，则必然A也不会发生。

显然，对任意事件A有：⑴AA；⑵A；⑶若AB，BC，则AC。2.事件的相等：

若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A＝B，即A与B有相同的样本点。显然有A＝BAB且BA

3.事件的互斥（互不相容）：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记为AB＝。

显然有：⑴基本事件是互斥的；⑵与任意事件互斥。辽宁石油化工大学

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（四）、事件的运算（和、差、积、逆运算）1.事件的和（并）：

两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与 事件B的并（或和），记为AB（或A＋B）。

即AB＝｛ω/ωA或ωB｝

显然有：⑴AAA；⑵AAB，BAB；

⑶若AB，则ABB。特别地，A,AA。

2.事件的积（交）：

两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（或交）。记为AB（或AB）

即AB/A且B。显然有：⑴ABA，ABB；

⑵若AB，则AB＝A，特别地A＝A； ⑶若A与B互斥，则AB＝，特别地A＝。

注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。

Ak1k1nnkA1A2An/A1或A2或或An} A1A2An/A1或A2或或An A1A2An/A1且A2且...且An} A1A2An/A1且A2且且An Ak1kAAk1kk3.事件的差：

事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。即AB{A而B}。辽宁石油化工大学

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显然有：⑴不要求AB，才有AB，若AB，则A-B；

⑵若A与B互斥，则A－B＝A，B－A＝B；

A－BA－AB且A－ABA－B）⑶A－B＝A－AB（证明：利用；

⑷A(BC)ABC（左边为A的子事件，而右边不是）。

4.事件的逆（对立事件）：

若事件A与事件B满足AB＝且AB＝，则称B为A的逆，记为B＝A。即A/A，} 显然有：⑴AA＝，AA＝

⑵A－B＝AB（证明：A－B＝A－AB＝A（－B）＝AB）

注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。

例如，在抛硬币的试验中，设A={出现正面}，B={出现反面}，则A与B互斥且A与B互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设A={出现1点}，B={出现2点}，则A与B互斥，但A与B不是对立事件。

(五)、事件的运算性质（规律）

由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。1.交换律：ABBA，AB＝BA 2.结合律：A(BC)(AB)C,A(BC)(AB)C

3.分配律：A(BC)(AB)(AC),ABC)(AB)(AC)4.德莫根（对偶）定律：①AiAi（和的逆＝逆的积）

i1i1nn 7 辽宁石油化工大学

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②AiAi（积的逆＝逆的和）

i1i1nn(六)、举例

例1：设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

①三个事件中至少一个发生 ABC

②没有一个事件发生 ABCABC（由对偶律）③恰有一个事件发生 ABCABCABC ④至多有两个事件发生（考虑其对立事件）

(ABCABCABC)(ABCABCABC)(ABC)ABCABC ⑤至少有两个事件发生 ABCABCABCABCABBCCA

§1.3 频率与概率

随机事件在一次试验中，可能发生也可能不发生，具有偶然性。但是，人们从实践中认识到，在相同的条件下，进行大量的重复试验中，试验的结果具有某中内在的规律性，即随机事件发生的可能性大小是可以比较的，是可以用一个数字进行度量的。例如，在投掷一枚均匀的骰子试验中，事件A‘掷出偶数点’，B‘掷出2点’，显然事件A比事件B发生可能性要大。

对于一个随机试验，我们不仅要知道它可能出现哪些结果，更重要的是研究各种结果发生的可能性的大小，从而揭示其内在的规律性。为此，首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。

（一）频率

(1)定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值

nA为事件A发生的频率，记为fn(A)。n8 辽宁石油化工大学

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(2)频率的性质：

⑴非负性：对任意A，有1fn(A)0

⑵规范性：fn(S)1

⑶可加性：若A1,A2,,Ak是两两不相容的事件，则

fn(A1A2Ak)fn(A1)fn(A2)fn(Ak).(3)频率的稳定性：

在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。

通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件A出现的可能性越大，一般来讲，其频率fn(A)也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。

（二）概率

(1)定义：设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：

1.非负性：对任意A，P(A)0 2.规范性：P(S)1

3.可列可加性（完全可加性）：设A1，A2，„，是两两互不相容的事件，即对于 ij,AiAj,i,j1,2,，则有P(Ai)＝P(Ai)

i1i1(2)概率的性质 ①P()0

证明：......，辽宁石油化工大学

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由公理1，P()P()P()，P()为非负实数，P()0

②有限可加性：若A1，A2，„，A.n两两互不相容，即AiAj(ij)，则有P(Ai)＝P(Ai)

i1nni1证明：因为Ai＝Ai...，利用公理一有

i1i1nnP(Ai)P(Ai)P(A1)P(An)P()P(Ai)

i1i1i1nnn③对任意事件A，有P(A)1P(A)

证明：因为AA,AA,所以P(A)P(A)P(AA)P()1 ④P(AB)P(A)P(AB)。特别，若BA，则P(A-B)＝P(A)P(B)。证明：因为A＝(AB)AB且(AB)AB＝

所以P(A)＝P((AB)AB)P(AB)P(AB)，即证。推论：（单调性）若BA,则P(B)P(A)。

＝P(AB)0 证明：P(A)P(B)⑤加法公式：对任意的事件A、B有：P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

特别，若A与B互斥，则有P(AB)P(A)P(B)

证明：因为ABA(BAB)且A（B－AB）＝

所以P(AB)P(A)P(B-AB)＝P(A)P(B)-P(AB)（因为ABB）

例:从数字1、2、„、9中有放回地取出n个数字，求取出这些数字的乘积能被10整除的概率？

解：“符号化” 令A={取出的数字中含5}，B={取出的数字中含偶数}，3n5n4n则 P(AB)1P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)=1nnn

999课后作业：

1、仔细阅读P1-12； 辽宁石油化工大学

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2、作业：P29 2, 4，5，6，7，8；

3、预习P12-2

4§1.4 等可能概型（古典概型）

古典概率(其产生的源泉是古典型随机试验)1.古典概型：一个随机试验若满足：

①样本空间中只有有限个样本点（有限性）②样本点的发生是等可能的（等可能性）

则称该随机试验为等可能概型。它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。等可能概型的一些概念具有直观容易理解的特点，有着广泛的应用。2.古典概率的计算公式：

设古典型随机试验的样本空间S{e1,e2,...,en}，若事件A中含有

k(kn)个样本点，则称k为A发生的概率，记为 nP(A)kA包含的基本事件数。nS中基本事件的总数3.古典概率的性质：

⑴非负性：对任意A，P(A)0 ⑵规范性：P()1辽宁石油化工大学

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⑶可加性：若A和B互斥，则P(AB)P(A）＋P(B)⑷P()0 ⑸P(A)1P(A)

例1：从标号为1，2，„,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:‘抽中2号’，B:‘抽中奇数号’，C:‘抽中的号数不小于7’。

解：令i表示“抽中i号”，i1,2,10，则{1,2,3,...10}，所以

P(A)154,P(B),P(C) 101010例2：从6双不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一双配对的概率；⑵至少有两只鞋子配成一双的概率。

解：⑴分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一

12211只，则⑴中所含样本点数为C6C2C5C2C2 412211所以所求概率P＝C6C2C5C2C2/C12＝33⑵设B表示‘至少有两只鞋子配成一双’，则：

4.1111P(B)1P(B)1－C64.C2C2C2C2/C12＝

1717412112，或＝[C6＝ C5C2C2C6]/C123333122【注】：不能把有利事件数取为C6从而出现重复事件。这是因为，若鞋子标有号码1，2，„，C2C10，216时，C6可能取中第i号鞋，此时C10可能取中j号一双，此时成为两双的配对为(i,j)；但也2存在配对(j,i)，(i,j)与(j,i)是一种，出现了重复事件，即多出了C6个事件。

例3：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的容量不限）

解：设A={每个盒子至多有一只球}

nN(N1)(Nn1)ANn

p(A)NnN例4：设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(kD)件次品的概12 辽宁石油化工大学

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率是多少？

解：设A={其中恰有k件次品} DNDknk

P(A)Nn上式即所谓超几何分布的概率公式。

例5：将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生，问（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？

解：（1）设A={ 每一个班级各分配到一名优秀生}

3!12!3!CCC25p(A)4!4!4!0.2747

15!91CCC5!5!5!***（2）设B={ 3名优秀生分配在同一班级}

312!3CCC6p(B)2!5!5!0.0659

15!91CCC5!5!5!***5例6：某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的。

（反证法）假设接待站的接待时间是没有规定的。A={12次接待都是在周二和周四进行的}

212p(A)120.0000003人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上是几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小（只有千万分之三）的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假定的正确性。从而推断接待站不是每天都接待来访者。即认为其接待时间是有规定的。辽宁石油化工大学

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§1.5条件概率

设A、B为任意两个事件，假设事件B已发生，前面我们已经研究了P（B），而在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率，为区别起见，我们把这种情况下的概率记为P(A/B)，称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率。

例1：考虑有两个孩子的家庭：{(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}43B：‘家中至少有一个女孩’，则P（B）＝

4212P(AB)而P(AB) 所以P(A/B)4

323P(B)4A：‘家中至少有一个男孩’，则P（A）＝这就有了：

（一）、条件概率

1、定义：设A，B是两个随机事件，且P(B)0，称P(A/B)P(AB)/P(B)为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。

注：①P(B)0时，条件概率无意义。（即条件不能是不可能事件）

②P(A/)P(A)/P()P(A)。（即P(A)是特殊的条件概率）

2、条件概率亦是概率，具有概率的某些性质：

①P(/B)0

②P(A/B)1P(A/B)

③P(A1A2/B)P(A1/B)P(A2/B)P(A1A2/B)

例2：设10件产品中有3件次品，现进行无放回地从中取出两件，求在第一次取到次品的条件下，第二次取到的也是出次品的概率。

解：（符号化）令Ai表示‘第i次取到次品’，i=1,2则要求的概率为

3232P(A2/A1)P(A1A2)/P(A1)()()/

10910914 辽宁石油化工大学

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（二）、乘法公式

由条件概率的定义：P(A/B)P(AB)/P(B)P(AB)P(B)P(A/B)(P(B)0)

P(B/A)P(AB)/P(A)P(AB)P(A)P(B/A)

(P(A)0)

定理1（乘法公式）：一般地，对任意n个事件A1,...,An，若P(A1...An)＞0，则 P(A1...An)＝P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1...An1)（＊）

证明：因为A1A2...AnA1...An1...A1A2A1

由概率的性质4的推论（单调性）有：P(A1)P(A1A2)...P(A1A2...An1)0 又由条件概率的定义有：（＊）式右＝P(A1)P(A1A2)/P(A1)P(A1A2A3)...P(A1A2...An)/P(A1A2...An1)

P(A1A2)P(A1A2...An)左

例3：设袋子中有r只红球，t只白球，从中任取一球，观察颜色后放回，并加进同颜色的a个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去，求：①第一、二次取到红球，第三、四次取到白球的概率

解：令Bi＝{第i次取到白球}；Rj＝{第j次取到红球} 则P(R1R2B3B4)P(R1)P(R2R1)P(B3R1R2)P(B4R1R2B3)rratta trtratr2atr3a①注意这个答案只与白球及红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关，这个模型曾被Polya用来作为描述传染病的数学模型。这是很一般的摸球模型，特别取a0，则是有放回摸球，取a1，则是不放回摸球。

例4：袋中有a只白球，b只黑球，从中任意取一球，不放回也不看，再取第二次，求第二次取到白球的概率。

解：设B＝{第二次取到白球},则要求P（B）辽宁石油化工大学

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令A＝{第一次取到白球}，则A＝{第一次取到黑球} AA,BBB(AA)BABA且BABA

P(B)P(BABA)P(BA)P(BA)P(A)P(BA)P(A)P(BA)

aa1baa

abab1abab1ab（依次类推，第n次摸到白球与第一次摸到白球的概率相等，这就是抓阄的科学性）

（三）、全概率公式和贝叶斯公式（Bayes）

定义：完备事件组：设A1,A2,..,An是S的一组事件，若AiS，且AiAj(ij)，i1n则称A1,A2,..,An为S的一个完备事件组或一个分割。显然，任一事件A与A就是一个完全事件组。

定理（全概率公式）：设A1,A2,..,An是S的一个完备事件组，且P(Ai)0（i=1,2,„,n）则对任一事件B有 P(B)P(Ai)P(B/Ai)

i1n证明：由BBSB(Ai)AiB且(AiB)(AjB)(AiAj)B,ij

i1i1nnAiB)P(AiB)P(Ai)P(BAi)由有限可加性及乘法公式有P(B)P(i1i1i1nnn例5：某工厂有三个车间生产同一产品，第一车间的次品率为0.05，第二车间的次品率为0.03，第三车间的次品率为0.01，各车间的产品数量分别为2500，2000，1500件，出厂时，三车间的产品完全混合，现从中任取一产品，求该产品是次品的概率。解：设B＝{取到次品}，Ai＝{取到第i个车间的产品}，i＝1,2，3 则有A1A2A3S，且A1A2，A1A3，A2A3 利用全概率公式得

P(B)P(Ai)P(BAi)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)

i1316 2500200015005%3%1%3.3% 600060006000辽宁石油化工大学

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定理 贝叶斯公式（Bayes）（逆全概率公式）：设A1,A2,..,An是S的一个完备事件组，且P(Ai)0（i=1,2,„,n）。若对任一事件B，P(B)>0，则有：P(Aj/B)P(Aj)P(B/Aj)P(A)P(B/A)iii1n j=1,2，„，n 证明：由条件概率公式P(AjB)P(AjB)P(B)P(Aj)P(BAj)P(A)P(BA)iii1nj1,2.,n

例6：某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2。现机器发生了故障，问应从哪个元件开始检查？ 解：设D‘发生故障’；A‘元件是A类’；B‘元件是B类’；C‘元件是C类’ 则 P(D)P(A)P(D/A)P(B)P(D/B)P(C)P(D/C)

0.10.70.40.10.50.20.21

所以P(A/D)=P(AD)P(D)=7/21；P(B/D)=4/21；P(C/D)=10/21，故应从C元件开始检查。

例7：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？

解：设A={产品合格} B={机器调整得良好} 已知 P(A)0.9,P(A)0.3,P(B)0.75P(B)0.25 BB由贝叶斯公式

P(A)P(B)BP(B)AP(A)P(B)P(A)P(B)BB0.90.750.90.90.750.30.25辽宁石油化工大学

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这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率是0.9，概率0.75是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率。而在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后在重新加以修正的概率（即0.9）叫做后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。

例7：医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%；仅发热的病人患“非典”的概率为3%；仅干咳的病人患“非典”的概率为1%；无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率为0.01%；现对某疫区25000人进行检查，其中既发热又干咳的病人为250人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，试求：

(1)该疫区中某人患“非典”的概率；

(2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率。

A{既发热又干咳的病人}，B{仅发热的病人}，}，D{无明显症状的人}解：(1)设 C{仅干咳的病人则易知A，B，C，D构成了一完备事件组，由全概率公式得：

P(E)P(A)P(E/A)P(B)P(E/B)P(C)P(E/C)P(D)P(E/D)***5%3%1%0.01%0.00***0002500025000

E={确诊患了“非典”}

(2)由贝叶斯公式知：

5003%P(B)P(E/B)25000P(B/E)0.37665P(E)0.001593

全概率公式和Bayes公式是概率论中的两个重要公式，有着广泛的应用。若把事件Ai理解为‘原因’，而把B理解为‘结果’，则P(B/Ai)是原因Ai引起结果B出现的可能性，P(Ai)是各种原因出现的可能性。全概率公式表明综合引起结果的各种原因，导致结果出现的可能性的大小；而Bayes公式则反映了当结果出现时，它是由原因Ai引起的可能性的大小，故常用于可靠性问题。18 辽宁石油化工大学

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如：可靠性寿命检验、可靠性维护、可靠性设计等。课后作业：

1、仔细阅读P12-25；

2、作业：P32 26, 27, 28, 29, 34；

3、预习P25-28

§1.6 独立性

一般来说，P(A/B)P(A),P(B)0)这表明事件B的发生提供了一些信息影响了事件A发生的概率。但是有些情况下，P（A/B）＝P（A），从这可以想象得到这必定是事件B的发生对A的发生不产生任何影响，或不提供任何信息，也即：事件A与B是‘无关’的。从概率上讲，这就是事件A、B相互独立。

1.定义：若两事件A，B满足P(AB)P(A)P(B)，则称A与B相互独立。注：①定义中，当P(B)0或P(B)1时，仍然适用，即,与任何事件相互独立；

②事件的独立与事件的互不相容是两个不同的概念：前者是相对于概率的概念，但可以同时发生；而后者只是说两个事件不能同时发生，与概率无关。

例1：投掷两枚均匀的骰子一次，求出现双6点的概率。辽宁石油化工大学

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解：设 A‘第一枚骰子出现6’；B‘第二枚骰子出现6’ 则P(AB)P(A)P(B)111 6636我们知道，对于分别掷两颗骰子，其出现6点相互之间能有什么影响呢？不用计算也能肯定它们是相互独立的。在概率论的实际应用中，人们常常利用这种直觉来肯定事件的相互独立性，从而使问题和计算都得到简化，但并不是所有的问题都是那么容易判断的，看下面一个例子：

例2：一家中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的，令A={家中男、女孩都有}，B={家中至多有一女孩} ①考虑三个孩子的家庭：

(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b),(g,b,b),(g,b,g),(g,g,b),(b,g,g),(g,g,g)，则P(AB)3/864P(A)P(B)A、B相互独立。88②考虑两孩子的家庭：

(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)，则P(AB)2/4，P(A)2/4，P(B)3/4，P(AB)P(A)P(B)A、B不相互独立。

定理1：若P（B）＞0，则A、B相互独立P（A/B）＝P（A）。结论：若A、B独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立。例3：甲、乙二人同时向同一目标射击一次，甲击中率为0.8，乙击中率为0.6，求在一次射击中，目标被击中的概率。

解：设A＝{甲击中}，B＝{乙击中}，C＝{目标被击中}，则C＝AB P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.80.60.80.60.92

或P(C)1P(C)1P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)1(10.8)(10.6)0.92

思考：若P（A）＞0，P（B）＞0，且P(A/B)P(A/B)1,则A、B相互独立。辽宁石油化工大学

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2.多个事件的独立

定义1：对于三个事件A、B、C，若下列四个等式同时成立

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则称A、B、C相互独立。

注：①对于两个以上的事件时，事件的两两独立不能推出总起来相互独立。

反例1：有四张同样大小的卡片，上面标有数字，从中任抽一张，每张被抽到的概率相同。分析：令Ai＝{抽到卡片上有数字i}, i=1,2,3，则： P（Ai）＝2/4＝1/2，即P（A1）＝P（A2）＝P（A3）

而P（A1A2）＝1/4＝P（A1）P（A2）；P（A1A3）＝1/4＝P（A1）P（A3）； P（A2A3）＝1/4＝P（A2）P（A3）

可见Ai两两之间是独立的，但是总起来看P(A1A2A3)1/4P(A1)P(A2)P(A3)1/8 并不相互独立。

②对于两个以上的事件时，总起来相互独立也不能推出事件的两两独立。

反例2：八张同样大小的卡片，任抽一张。分析：P(Ai)4/81/2,i1,2,3.P(A1A2A2)1/8P(A1)P(A2)P(A3)但P(A1A2)3/8P(A1)P(A2)

因此对多个事件的独立性要求比较严格。

定义2：对任意n个事件，A1,A2,..,An，若： P(AiAj)P(Ai)P(Aj),1ijn

P(AiAjAk)P(Ai)P(Aj)P(Ak),1ijkn

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

P(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)（共2nn1个式子）均匀成立，则称A1,A2,..,An相互独立。

例4：用步枪射击飞机，设每支步枪命中率均为0.004，求：①现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；②若想以0.99的概率击中飞机，需要多少支步枪同时射击？ 解：①Ai‘第i支击中’,则要求P(A1A2...An)而P(A1A2...An)1P(A1A2...An)1P(A1A2...An)

1P(A1)P(A2)...P(An)＝1－0.9962500.63 ②由10.996n0.99n1150

五、独立性在系统可靠性中的应用

元件的可靠性：对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性。系统的可靠性：对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性。

例5：设构成系统的每个元件的可靠性均为r，0r1且各元件能否正常工作是相互独立的，求下面附加通路系统的可靠性：

解：每条通路正常工作，当且仅当通路上各元件 正常工作，其可靠性为

RcP(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)rn，即每条通路发生故障的概率为1rn； 由于系统是由两条通路并联而成，则两通路同时发生故障的概率为(1rn)2，所以上述系统的可靠性为Rs1(1rn)2rn(2rn)Rc(2Rc)Rc2Rc，2Rc1RsRc

故附加通路能使系统的可靠性增加。辽宁石油化工大学

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课后作业：

1、仔细阅读P25-28；

2、作业：P32 30, 31, 32, 33；

3、预习P34-44 23

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