常微分方程答案 第三章_第三章常微分方程

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习题3.1

1.求方程dyxy2通过点(0,0)的第三次近似解。dx

解：fx,yxy2，令0(x)y00，则

1xy0fx,0xdxxdxx00xx12x 2

2xy0fx,1xdxx0xx0121215xxdxxx 2202

3xy0fx,2xdxx0x

x

0 12152121518111xxxxxdxxx2022016044002

为所求的第三次近似解。

3.求初值问题

dy22xy,R:x11,y1,(1)dx

y10的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为fx,yx2y2，ab1，Mmaxfx,y4，所以x,yR

153b1hmina，从而解得存在区间为x1，即x。444M4

又因为fx,yx2y2在R上连续，且由fy2y2L可得fx,y在R上关于y满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题(1)在53x有唯一解44yx。

令0(x)y00，则

1xy0fx,0xdxx2dxx01xx13x1 3

2xy0x

x0221311xx3x4x7fx,1xdxxx1dx1429318633x

MLh1

误差为：2xx

L21!24

10.给定积分方程

xfxKx,d(*)

a

b

其中fx是a,b上的已知连续函数，Kx,是axb，ab上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在a,b上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。

㈠.构造逐步逼近函数序列

0xfx

n1xfxKx,nd,n0,1,2,

ab

由fx是a,b上的连续函数可得0x在a,b上连续，故再由Kx,是

axb，ab上的连续函数可得1x在a,b上连续，由数学归纳法易证

nx在a,b上连续。

㈡.证明函数列nx在a,b上一致收敛。

考虑级数

0xkxk1x,k1



xa,b(2)

由

0xkxk1xnx

k1

n

知，nx的一致收敛性与级数(2)的一致收敛性等价。

令Mmaxfx，LbamaxKx,。由(2)有

axb

axb,ab

1x0xKx,fd

a

b

Kx,fd

a

b

maxKx,maxf

axb,ab

ab



b

a

dML

所以

2x1xKx,10d

a

b

Kx,10d

a

b

MLKx,dML2

a

b

假设对正整数n，有不等式

nxn1xMLn,则

b

xa,b(3)

n1xnxKx,nn1d

a

Kx,nn1d

a

b

xa,b

ML

n1

Kx,dMLn,a

b

所以(3)对任意正整数n都成立。

因为MLn为正项级数，且当足够小时，n1

LbamaxKx,1(4)

axb,ab

故ML收敛，从而由Weierstra判别法，级数kxk1x一致收敛，n

n1

k1



故级数(2)一致收敛，所以函数列nx在a,b上一致收敛。

㈢.证明limnxx是积分方程(*)在a,b上的连续解。

n

因为由㈠和㈡可得nx在a,b上连续，nx在a,b上一致收敛，故

x在a,b上连续，且函数列Kx,nx在a,b上一致收敛，所以对

n1xfxKx,nd

a

b

两边取极限可得

limn1xfxlimKx,nd

n

nab

b

fxKx,limnd

a

n

从而

xfxKx,d

a

b

所以x是积分方程(*)在a,b上的连续解。

㈣.证明x是积分方程(*)在a,b上的唯一解。

设x是积分方程(*)在a,b上的另一连续解，则

xfxKx,d

a

b

令gxxx，则

gxKx,d

a

b

Kx,d

a

b

maxxxKx,d

axb

a

b

Lmaxgx

axb

对xa,b都成立，上式两边对x取最大值可得

maxgxLmaxgx

axb

axb

如果maxgx0，则由上式有

axb

L1

这与(4)矛盾，故maxgx0，即gx0，所以xx，从而x是积

axb

分方程(*)在a,b上的唯一解。证毕。

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