分离变量法习题_分离变量法例题

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第十章习题解答求解混合问题

utta2uxx0(0xl,t0)0

u(0,t)0,u(l,t)0，其中(x)v00u(x,0)0,u(x,0)(x)t0xccxc cxl解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为u(x,t)X(x)T(t)，则，utt(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)

代入混合问题中的微分方程可得：

X(x)T(t)aX(x)T(t)02X(x)X(x)aT(t)T(t)2

由初始条件可得：u(0,t)X(0)T(t)u(l,t)X(l)T(t)0X(0)X(l)0由此可得，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0(0xl)



若λ

代入边值条件后可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为

X(x)c1c2x，代入边值条件后仍可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1cos代入边界条件后可得： X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，2xc2sinx，X(l)c2sinl0,X(x)0sinnxlnl0,n，l所以可取 X(x)Xn(x)sin

(n1,2,)由T(t)所满足的方程可得：

T(t)a22T(t)0T(t)Tn(t)ancosnatlnatlbnsinnatl，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 u(x,t)un(x,t)Xn(x)Tn(t)(ancosbnsinnatl)sinnxl，设原混合问题的解函数为 u(x,t)n1(ancosnatlbnsinnatl)sinnxl，则由初始条件可得：0u(x,0)n1ansinnxlan0(n1,2,)

 ut(x,t)n1nalbncosnatlsinnxlnxl， (x)ut(x,0)n1natlbnsinbnna2l0(x)sinnxldx，bnna2ccv0sinnxldx2v0lna22(cosn(c)lnxlcosn(c)l)（*）所以，原混合问题的解为 u(x,t)2 求解混合问题

bn1nsinnatlsin，其中的bn由（*）给出。

utta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)E,u(l,t)0

u(x,0)0,u(x,0)0(E为常数）t解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设

v(x,t)u(x,t)El(lx)u(x,t)v(x,t)El(lx)，则

vxx(x,t)uxx(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vtt(x,t)utt(x,t)，2vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)0，v(0,t)u(0,t)

v(x,0)u(x,0)ElEl(l0)u(0,t)E0,v(l,t)u(l,t)00，(lx)El(lx),vt(x,0)ut(x,0)0，所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是：v(x,t)是如下混合问题的解：2vtt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,

v(0,t)0,v(l,t)0Ev(x,0)(lx),vt(x,t)0lt0)

（*）

用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：



v(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，代入初始条件可得：，Bn0，An2llEl0(lx)sinnxldx2En(n1,2,)

所以，v(x,t)n12EncosnatlElsinnxl，原混合问题的解函数为u(x,t)3 求解下列阻尼波动问题的解：

(lx)n12Encosnatlsinnxl

utt2huta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)0,ux(l,t)0

u(x,0)(x),u(x,0)(x)t其中，h为正常数，且ha2l。

解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件：

u(x,t)X(x)T(t)

则容易算得：uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简可得：

T(t)2hT(t)aT(t)2X(x)X(x)

0u(0,t)X(0)T(t)X(0)0，0ux(l,t)X(l)T(t)X(l)0，T(t)2hT(t)aT(t)0

X(x)X(x)0

，X(0)0,X(l)02由X(x)的非零性可得0，此时，X(x)c1cosxc2sinx，X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，取c21得：X(x)sin2n1l0n

2l22x,X(l)cos2n1将代入T(t)所满足的方程可得：T(t)2hT(t)aT(t)0

l

22n12ha0nh2l2(2n1)ah

2l222

ha2l(2n1)a2lnh(2n1)a2hi2l(n1,2,)

从而有：

T(t)Tn(t)eht(AncosntBnsinnt)，2n1a2l22其中

nh(n1,2,)，（1）

设原混合问题的解函数为：



u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，

(x)u(x,0)ln1Ansinl(2n1)2lx，(2n1)xl(1cosdx，0022l2l22l(2n1)xdx(n1,2,)

（2）所以

An(x)sin0l2l而

sin2(2n1)xdx1ut(x,t)n1eht((hAnnBn)cosnt(hBnnAn)sinnt))sin(2n1)x2l



(x)ut(x,0)1n1(hAnnBn)sin(2n1)x2l，Bnn(hAn2ll0(x)sin(2n1)x2ldx)。

（3）

所以，原混合问题的解是u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，其中的 n,An,Bn分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。4 求解混合问题

uxxLCutt(LGRC)utGRu

u(0,t)0,ux(l,t)0GEu(x,0)E,u(x,0)tC(0xl,t0)

其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。（提示：作函数变换u(x,t)exp(Rt/L)v(x,t)）

解：记a21LC,bGCRL，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为

a2uxx(x,t)utt(x,t)2but(x,t)b2u(x,t)，a22x(u(x,t)exp(bt))t22(u(x,t)exp(bt))，设v(x,t)u(x,t)exp(bt)，则有

a2vxx(x,t)vtt(x,t)，而且，vx(x,t)ux(x,t)exp(bt),()0,所以

v(0,t)u(0,t)expbtvt(x,t)ut(x,t)exp(bt)bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)ux(l,t)expbt()0，vt(x,0)ut(x,0)bu(x,0)0，(0)u(x,0)E,v(x,0)u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合问题的解函数，则v(x,t)是如下混合问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,vx(x,t)0v(x,0)E,v(x,t)0t(0xl,t0)

用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 v(x,t)X(x)T(t)，则

vx(x,t)X(x)T(t)，vxx(x,t)X(x)T(t),vxx(x,t)X(x)T(t),X(x)X(x)T(t)aT(t)2

由齐次边界条件可得，X(x)为如下定解问题的解：

X(x)X(x)0X(x)c1cosxc2sinx，X(0)0,X(l)0

X(0)0c10，取c21得X(x)sinx，X(l)T(t)aT(t)2(2n1)cosl0n2lnT(t)Tn(t)Ancos(2n1)x2l2(n1,2,)，(2n1)at2l

(2n1)at2lBnsin，X(x)Xn(x)sin(n1,2,)，设

v(x,t)n1(Ancos(2n1)at2llBnsin(2n1)at2l)sin(2n1)x2l

代入初始条件可得：An2l0v(x,0)sin(2n1)x2ldx4E(2n1),Bn0，所以

v(x,t)(2n1)n14Ecos(2n1)at2lsin(2n1)x2l

所以，原题目所给的混合问题的解函数为：

u(x,t)exp(bt)n14E(2n1)cos(2n1)at2lsin(2n1)x2l。用固有函数法求解

utta2uxxg(const),

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)

解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，利用分离变量法的标准步骤可求得： (2n1)

n,2l2X(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)

将f(x,t)g展开成Xn(x)的广义Fourier级数如下：

fn(t)2ll0f(x,t)Xn(x)dx2ll0gsin(2n1)x2ldx4g(2n1)，T(t)a2nT(t)fn(t)16gl(2n1)atT(t)T(t)(1cos)n3322l(2n1)aT(0)0,T(0)02[注：方程T(t)aT(t)fn(t)的通解为

Tn(t)Ancos

(2n1)at2lBnsin(2n1)at2l16gl(2n1)a332，代入初始条件即可得此处的结果。] 所以，题目所给的混合问题的解函数为

u(x,t)Tn(t)Xn(x)n1(2n1)16gl3a32(1cos(2n1)at2lt0))sin(2n1)x2l。

ut(x,t)a2uxx(x,t)06．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)u(const)0(0xl,。

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ut(x,t)X(x)T(t),ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简再由边界条件可得：

T(t)aT(t)2X(x)X(x)T(t)aT(t)0,22X(x)aX(x)0

u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0,ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0

2(0xl)

(2n1)解之得 n,2lX(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)，2(2n1)a

T(t)na2T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(t)。

2l设原问题的解函数为

u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a，Anexp(t)sin2l2l2由初始条件可得：

u0u(x,0)An1nsin(2n1)x2l4u0，由此可得：

An2ll0u0sin(2n1)x2ldx(2n1)2(n1,2,)，所以，u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a exp(t)sin(2n1)2l2l4u0 7 ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,7．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)u(l,t)0u(x,0)(x)t0)

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简，并由边界条件可得：

T(t)a2T(t)0,X(x)X(x)0，u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)u(l,t)(X(l)X(l))T(t)0X(l)X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

X(x)X(x)0(0xl)



X(0)0,X(l)X(l)0由u(x,t)是非零解可得：0X(x)c1cos

X(0)0c10X(x)sinxxc2sinx

(letc21)，X(l)X(l)设

tanlcoslsinl0tanl(n1,2,)，则nn

2

n0所以，X(x)Xn(x)sinnx，22((an)t)

T(t)(an)T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(n1,2,)，设原混合问题的解函数为

u(x,t)An1nexp((an)t)sinnx，2利用Xn(x)的正交性可求得 An(x)sin0lnxdx(n1,2,)。

[注]：可以证明：Xn(x)具有正交性。

l0sinnxdx2 8 ut(x,t)a2uxx(x,t)08．求解混合问题u(0,t),u(l,t)u(x,0)u0(0xl,t0)，其中，,,u0为常数。

解：作函数变换 v(x,t)u(x,t)(则

ut(x,t)vt(x,t),lx)u(x,t)v(x,t)(l x)，uxx(x,t)vxx(x,t)，u(0,t),u(l,t)v(0,t)0,v(l,t)0，u(x,0)u0v(x,0)u0(lx)

所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是v(x,t)是如下混合问题的解： 2vt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,（*）

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)u(x)0lt0)

用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

X(x)Xn(x)sinnxl,naT(t)Tn(t)Anexp(t)，l2

v(x,t)Tn1n(t)Xn(x)n1nxna，Anexp(t)sinll2代入初始条件可得：u0(l2lx)v(x,0)ln1Ansinnxlnxl

由Xn(x)的正交性可得：An

An0(u0(nlx))sindx，2n((u0)(1)(u0))(n1,2,)，2所以，v(x,t)n1nxnan((u0)(1)(u0))exp(t)sinnll2

u(x,t)v(x,t)(lx)。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,9．求解 u(x,0)x(xa),limu(x,y)0yu(0,y)0,u(a,y)0y0)。解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则

uxx(x,y)X(x)Y(y),uyy(x,y)X(x)Y(y)，uxx(x,y)uyy(x,y)X(x)Y(y)X(x)Y(y)0，X(x)X(x)Y(y)Y(y)X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，

u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，u(a,y)X(a)Y(y)0X(a)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aX(x)Xn(x)sinnyanxa，从而有：Y(y)Yn(y)Anexp(又由另一个边界条件可得：

nya)Bnexp()(n1,2,)

（limun(x,y)limXn(x)Yn(y)0An0Yn(y)Bnexpyynya)，设原定解问题的解函数是u(x,y)n1un(x,y)n1Bnexp(nya)sinnxa，则

u(x,0)x(xa)x(xa)n1Bnsinnxa

Bna2a0x(xa)sinnxandx22aannya333((1)1)n(n1,2,)，所以，u(x,y)10．求解边值问题：

4a23n1(1)1n3exp()sinnxa。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0xxu(x,0)0,u(x,b)sinaa0yb)。

解： 用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐次边界条件的非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则有：

uxx(x,y)X(x)Y(y),X(x)X(x)Y(y)Y(y)uyy(x,y)X(x)Y(y)，0X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，同理 X(a)0，所以，X(x)是如下二阶常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aXn(x)sinnyanxa，Y(y)nY(y)0Y(y)Yn(y)Ancoshny，Bnsinha设原定解问题的解为：u(x,y)n1(AncoshnyaBnsinhnya)sinnxa，则

0u(x,0)n1AnsinnxaAn0(n1,2,)，xasinxa2au(x,b)nban1aBnsinhnbasinsinnxadx，所以，Bn(sinh)1xa0sinxanxanb2

sinha11(1)n1(1)n(n1)2(n1)2(n2,3,)

axbxxb

B1(sinh)1sinsindx2sinh0aaaaaa21。

所以，原定解问题的解函数为u(x,y)n1Bnsinhnyasinnxa，其中的Bn由以上式子给出。11．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)k(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0u(x,0)0,u(x,b)00yb)，提示：令u(x,y)v(x,y)w(x),而w(x)满足条件w(x)k,w(0)w(a)0。解：令w(x,y)k2x(xa),v(x,y)u(x,y)w(x,y)，则

vxx(x,y)uxx(x,y)wxx(x,y)uxx(x,y)k，vyy(x,y)uyy(x,y)wyy(x,y)uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)uyy(x,y)kvxx(x,y)vyy(x,y)0，u(0,y)0,u(a,y)0v(0,y)0,v(a,y)0，u(x,0)0,u(x,b)0v(x,0)k2x(xa),v(x,b)k2x(xa)

所以，u(x,y)是原定解问题的解的充要条件是v(x,y)是如下定解问题的解： vxx(x,y)vyy(x,y)0（*）v(0,y)0,v(a,y)0，kkv(x,0)x(xa),v(x,b)x(xa)22用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

v(x,y)X(x)Y(y)X(x)X(x)0,n

n,a2Y(y)Y(y)0，Xn(x)sinnxa,nynyYn(y)Anexp()Bnexp()

aa(n1,2,)，v(x,y)vn(x,y)Xn(x)Yn(y)设（*）的解函数为v(x,y)n1(Anexp(nyak2)Bnexp(nya))sinnxa

则

v(x,0)n1(AnBn)sinnxa1x(xa)，v(x,b)n1(AnDnBnDn)sinnxa，（其中 Dnexp(nba)）

若记

Cna2ak20x(xa)sinnxadx2k2aa2n333((1)1)，31nb)1CnAnexp(ABCannn则有： ，11ADBDCnbnbnnnnnBexp()exp()1Cnnaa 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式给出。而题目所给的定解问题的解函数为

u(x,y)v(x,y)w(x,y)v(x,y)12．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(x,0)0,u(x,b)0u(0,y)y(yb),u(a,y)00yb)k2x(xa)。

解：用分离变量法求解此定解问题：设u(x,y)X(x)Y(y)，由分离变量法的标准过程

nyn可得

n,Yn(y)sinX(x)Y(y)bbX(x)nX(x)0X(x)Xn(x)Anexp(nxb)Bnexp(nxb)(n1,2,)X(x)Y(y)2设原定解问题的解函数为



u(x,y)n1Xn(x)Yn(y)n1(Anexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb，则由关于x的边界条件可得：y(yb)u(0,y)2bn1(AnBn)sinnyb，AnBnb0y(yb)sinnybdy



0u(a,y)nabn1(Anexp(nabnab1b)Bnexp(nab))sinnyb，Anexp(所以

An

Bn2b)Bnexp(2nabb)0，y(yb)sin)1)12b(exp()1)nyb0dy，nybdy，exp(2na)(exp(2nabb0y(yb)sin所以，u(x,y)所以，……。

13.求解混合问题

(An1nexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb

3x3at2u(x,t)au(x,t)sinsinxxtt2l2l

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)。解：用分离变量法求解此混合问题：设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解：

u(x,t)X(x)T(t)ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，utt(x,t)a2uxx(x,t)0

X(x)X(x)0, 由边界条件可得：u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)是如下边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0



X(0)0,X(l)0X(x)X(x)T(t)aT(t)2

(2n1)求解此问题，可当n时，问题有非零解，其解函数集构成一个

2l2一维线性空间，它的一个基向量函数为X(x)Xn(x)sin令

fn(t)2l(2n1)x2l2lsin，dx，l0f(x,t)Xn(x)dx,fn(t)0,l0sin3x2lsin3at(2n1)x2l则

f2(t)sin3at2l(n1,3,4,5,)

令{Tn(t)}为如下初值问题的解函数： T(t)na2T(t)fn(t)

T(0)0,T(0)0(t0)，（1）

则Tn(t)0(n1,3,4,5,)，对于n=2,可用常数变易法来求：

T(t)2aT(t)0T(t)Acos设（1）的解函数为 T(t)A(t)cos则 T(t)A(t)cos令

A(t)cos3at2lB(t)sin3at2l3at2l3atB(t)sin3a2l2l3at2lBsin3at2l，3at2lB(t)cos3at2l)

(A(t)sin3at2lB(t)sin3at2l0，则

T(t)3a2l3a2l(A(t)sin3at2l3atB(t)cos)，2lT(t)(A(t)sin3at2lB(t)cos3a2l3at3at3at3a)B(t)sin)(A(t)cos2l2l2l2l3at2l3at B(t)cos)f2(t)，2l2

T(t)2a2T(t)f2(t)(A(t)sin3at3at(t)cos(t)sinAB02l2l也就是：

，3a3at3at3at(A(t)sinB(t)cos)sin2l2l2l2l求解此线性方程组得：A(t)22l3asin23at2l,B(t)2l3asin23at2lcos3at2l，3atll

A(t)sintc1,l3a3a3atl B(t)cosc2，l3a所以，（1）的解为：

3atl3at3at3atl

T(t)T2(t) tcosc1cosc2sinsin3a2l3a2l2l2l2由初始条件T(0)0,T(0)0可得：c10,2l22lc2，3a3at2l2所以，T2(t)3asin3at2ll3atcos，所以，题目所给的定解问题的解函数为：



u(x,t)14．求解混合问题

n12l23atl3atXn(x)Tn(t)sintcos(3a)22l3a2l3xsin。2l2x2u(x,t)au(x,t)sin(0xl,xxttl

u(0,t)0,u(l,t)03x2xu(x,0)2sin,u(x,0)sintllt0)。

解：作函数变换v(x,t)u(x,t)w(x)，其中w(x)为待定函数，则

vtt(x,t)utt(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)w(x)，22

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)a(uxx(x,t)w(x))

utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)，设u(x,t)是原定解问题的解函数，2xl取aw(x)sin222xl，则有： 0，即w(x)sinl2a222vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)sin2xl aw(x)0，2而

v(0,t)u(0,t)w(0)000,3xlv(l,t)u(l,t)w(l)0

v(x,0)u(x,0)w(x)2sin2xl2xl，sin2al2

vt(x,0)ut(x,0)sin，所以，v(x,t)为如下定解问题的解函数： v(x,t)a2v(x,t)0ttxx（*）

v(0,t)0,v(l,t)03xlv(x,0)2sinl2a(0xl,2xsin,l2t0)，vt(x,0)sin2xl用分离变量法求解此定解问题：由分离变量法的标准过程可得： n

n,l2X(x)Xn(x)sinnatlBnsinnatlnxl,，T(t)Tn(t)Ancos设（*）的解函数为

(n1,2,)



v(x,t)n1un(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，由初始条件可得：2sin3xl2xlv(x,0)sin2al22n1Ansinnxl

l可得： A10,A2,A32,2aAn0(n4,5,)

natllna

vt(x,t)n1nal(AnsinnatlnxlBncos)sinnxl，sin2xlvt(x,0)n1nalBnsinB2,Bn0(n1,3,4,5,)

2atl2at2x3at3xl所以，v(x,t)(，cossin)sin2coinl2allll2a2所以，题目所给的定解问题的解函数为u(x,t)v(x,t)w(x)。15． 求解混合问题

2x2sinx(0xl,utt(x,t)auxx(x,t)l

u(0,t)t,u(l,t)sintu(x,0)0,u(x,0)(为常数)tt0)。

[注]：此定解问题中的微分方程非齐次项中的sinx应为sint，才能得到书中答案。

解：先将边界条件齐次化：令v(x,t)u(x,t)((sintt)t)，lx则

vtt(x,t)utt(x,t)xlsint,2vxx(x,t)uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)2xl2sintauxx(x,t)

xl22

utt(x,t)auxx(x,t)0lsint0，2tt)t)tt0，v(0,t)u(0,t)((sintt)t)tt0，v(l,t)u(l,t)((sinll

v(x,0)u(x,0)00,vt(x,0)ut(x,0)(xl(cos*0))0，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0xl,t0)v(x,t)0，所以，原定解问题的解函数为 u(x,t)xl(sintt)t

utt(x,t)a2uxx(x,t)3x2tex16． 求解 ux(0,t)t,ux(l,t)u(l,t)tu(x,0)0,u(x,0)1ext(0xl,t0)。

解：作如下函数变换：v(x,t)u(x,t)t(1ex)u(x,t)ttex，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则经验证可得：v(x,t)是如下定解问题的解函数：vtt(x,t)a2vxx(x,t)3x2(1a2)tex

vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0x1,t0)

用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)，T(t)aT(t)2由分离变量法的标准过程可得：

X(x)X(x)X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0X(0)0,X(1)X(1)0 由X(x)所满足的方程可得：X(x)c1cosxc2sinx，由边界条件可得：c20,0，取c11，则得X(x)cos

X(1)X(1)0sincos02所以，nn,X(x)Xn(x)cosnxx，ctg，(n1,2,)，其中，n是方程ctg的所有正解。因为

10cosnxdx22100.5(1cos2nx)dx0.5(1sinn)，2令

fn(t)1sinn21sin2210f(x,t)cosnxdx

1n0((3x)(1a)te22x)cosnxdx

4sinn(1sinn)3n22(1a)sinn1sinn222tbncnt

则

f(x,t)n1fn(t)cosnx，设原定解问题的解函数为v(x,t)Tn12n(t)cosnx，则

vttavxx2(Tn1n(t)aT(t))cosnx2nn1fn(t)cosnx，22从而有：

Tn(t)anTn(t)fn(t)(n1,2,)，由初始条件可得：v(x,0)vt(x,0)0Tn(0)Tn(t)0，所以，Tn(t)为如下初值问题的解函数： 22Tn(t)anTn(t)fn(t)

Tn(0)0,Tn(0)0(t0)

22用常数变易法：Tn(t)anTn(t)0Tn(t)AncosantBnsinant，设此边值问题的解为： Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant，A(t)cosatB(t)sinat0nnnn经简单推导得： ，1A(t)sinatB(t)cosatf(t)nnnnnan1A(t)fn(t)sinantnan解此线性方程级：

1Bn(t)fn(t)cosantan积分并利用初始条件可得：

cn1A(t)((bct)cosatb)sinantnnnn23nanan

，cn1Bn(t)(bncnt)sinant(cosant1)23anan

Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant

1anbn2bncnt1an2(bncosantcnansinant)

an21cosantcnan21tsinatn an所以，u(x,t)Tn1n(t)cosnx，其中的Tn(t)、bn、cn和n均由以上各式给定。[注]课本上的答案为此处的a=1。

ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,17． 求解 ux(0,t),ux(l,t)u(x,0)A(A,为常数)t0)。

解：设u(x,t)是原定解问题的解函数，作函数变换v(x,t)u(x,t)x，则

vt(x,t)ut(x,t),vx(x,t)ux(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vx(0,t)ux(0,t)0,vx(l,t)ux(l,t)0,v(x,0)u(x,0)xAx，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0(0xl,t0)

vx(0,t)0,vx(l,t)0

v(x,0)Ax用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)为微分方程的满足齐次边界条件的非零解函数，则将v(x,t)代入方程后化简可得：

T(t)aT(t)X(x)X(x)T(t)aT(t)0,2X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(l,t)0X(0)0,X(l)0，所以，X(x)为如下边值问题的非零解函数：

2nnX(x)X(x)0(0xl)lX(0)0,X(l)lX(x)X(x)cosnxnl(n0,1,2,)

将n代入T(t)的方程可得：

na

T(t)a2nT(t)0T(t)Tn(t)Bnexp(t)lnxna所以，vn(x,t)Tn(t)Xn(x)Bnexp(。t)cosll22(n0,1,2,)，设

v(x,t)n0nxna，Bnexp(t)cosll2则由初始条件可得：Axv(x,0)1l2ln0Bncosnxl

可得：

B0

Bn)0l(Ax)dxA12l，(n1,2,)，nx2ln(Ax)cosdx(1(1))220lln 20 所以，v(x,t)A

12ln12ln22nxna。(1(1))exp(t)coslln2ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)(0xl,18． 求解 u(0,t)A,u(l,t)B(A,B为常数)u(x,0)g(x)t0)。

解：设F(x)(0xx0f(x)dx)dx，w(x)1a2F(x)(AB)aF(l)al22xA，1a2

v(x,t)u(x,t)w(x)vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vt(x,t)a2vxx(x,t)ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)0，1a1a22f(x)，v(0,t)u(0,t)w(0)AF(0)(AB)aF(l)al2220A0，v(l,t)u(l,t)w(l)BF(l)(AB)aF(l)al2lA0，v(x,0)u(x,0)w(x)g(x)w(x)，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)g(x)w(x)(0xl,t0)，用分离变量法可求得：



v(x,t)其中，Ann1nxna，Anexp(t)sinll(g(x)w(x))sin22llnxl20dx(n1,2,)。

所以，u(x,t)n1nxnaAnexp(w(x)。t)sinll21．在扇形区域内求解边值问题

u0(ra,0)

u(r,0)0,u(r,)0。

u(a,)f()解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：1u1u2

u0rurrruru0。r22rrrr2用分离变量法求解此定解问题：设u(r,)R(r)()，代入以上微分方程化简后可rR(r)rR(r)R(r)2得

()()2：

()()0,rR(r)rR(r)R(r)0

u(r,0)R(r)(0)0(0)0, u(r,)R(r)()0()0，所以，()是如下边值问题的非零解函数：

2nn()()0

(0)0,()0()sinnxn(n1,2,)，2n/n/Bnr

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)Rn(r)Anr，n/又显然有：R(0)Bn0，也就是：Rn(r)Anr，所以，un(r,)Rn(r)n()Anrn/sinnsin，n设原定解问题的解函数是 u(r,)n1Anrn/n/，由关于r的边界条件可得：f()u(a,)其

n1Anasinn，中

Anan/20f()sinn2d(n1,2,)，n/nr所以，u(r,)f()sindn10asinn。

u0(1r2,0)22 求解边值问题

u(1,)sin,u(2,)0。

u(r,0)0,u(r,)0解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u20rurrruru0

ur22rrrr

2用分离变量法求解：设u(r,)R(r)()代入方程中并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()

u(r,0)0,u(r,)0(0)0,()0，()()0

(0)0,()02n2nn()()sinnn(n1,2,)，将nn2代入R(r)所满足的方程可得：

r2R(r)rR(r)n2R(r)0R(r)Rn(r)AnrnBnrn，n设原定解问题的解函数为 u(r,)Rn1(r)n()(An1nrBnrnn)sinn，nn0u(2,)(An2Bn2)sinnn1由r的边界条件可得：

，sinu(1,)(AnBn)sinnn1容易得到：

AnBn0(n2,3,)，11A12A2B10

3，14B11A1B13所以，u(r,)13r43r1sin。2(ra)uxxuyyy23． 求解边值问题  222uraxy,rxy解：作函数变换 v(x,y)u(x,y)112y，24则有：

vxx(x,y)uxx(x,y),vyy(x,y)uyy(x,y)y 此时，有：

vxxvyyuxxuyyyyy0，所以，v(x,y)是如下边值问题的解函数：

222 23 vxxvyy0(ra)

 14222vxyy,rxy12ra将此定解问题由直角坐标改为极坐标：

r2vrrrvrv0(ra)

1424v(a,)acossinasin12(xrcos,yrsin)，用分离变量法求解此定解问题：设v(r,)R(r)F()，由分离变量法的标准步骤rR(r)rR(r)R(r)2容易得到：

F()F()02，rR(r)rR(r)R(r)0F()F()由v(r,)的实际意义可知：F()是以2为周期的周期函数，R(0) 所以

nn2,F()Fn()AncosnBnsinn(n0,1,2)

22nnn

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)c1rc2r,letRn(r)r，n设

v(r,)Rn0(r)Fn()(An0nncosnBnsinn)r

由关于r的边界条件可得：v(a,)112(An04ncosnBnsinn)a，n而

v(a,)acossin

所以，A013213242asin

12412acos219644a412asin21a,B222196acos4，4a,A224,A4，其余的An、Bn的值均为零。所以，v(r,) u(r,)1324132ar(242124acos212212sin2)1964196rcos4，112rsin。

444ar(124acos22sin2)rcos4u0(ra,0)224.求解边值问题 ur(a,)f()。

u(r,0)0,u(r,)02解：因为其自变量的取值区域是扇形区域，所以可在极坐标系下用分离变量法求解此定 24 解问题，因为，u1rrrur1ur2220，设 u(r,)R(r)()，求出其各阶偏导数并代入方程后化简可得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0 ()()()0()(由u(r,)关于的边界条件可得

(0)0,2)0

()()0n4n2所以

(0)0,()0n()sin2n2(n1,2)

r2R(r)rR(r)4n2R(r)0RRn(r)Anr2nBnr2n

u(0,)Rn(0)Rn(r)Anr2n

设原定解问题的解函数为

u(r,)An1nr2nsin2n，则

ur(r,)2nAn1nr2n1sin2n，由边界条件得

f()ur(a,)从而有：

An2na2n12nAn1na2n1sin2n

/20f()sin2nd

（1）

所以，原定解问题的解函数为u(r,)其中的系数由（1）式给出。

An1nr2nsin2n，uxy(ra,0)225．求解边值问题

ur(a,)f()

222u(r,0)0,u(r,)0,rxy2解：设w(x,y)112xy(xy)，作函数变换v(x,y)u(x,y)w(x,y)，22则

vvxxvyyuxxuyy(wxxwyy)0 在极坐标下：

v(r,)u(r,)w(r,)u(r,)124rsin2，25

vr(r,)ur(r,)

vr(a,)ur(a,)经验算得知：

v(r,0)0,v(r,1616rsin2，asin2，332)0，所以，v(r,)为如下边值问题的解函数：

21v1v(r)20v2rrrr13v(a,)f()asin2r6v(r,0)0,v(r,)02(ra,02)

用分离变量法求解，设v(r,)R(r)()代入方程并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()由关于的边界条件可得：(0)0,(2)0，(n1,2,)，2由此可得： n4n,n()sin2n222n2n

rR(r)rR(r)4nR(r)0RRn(r)AnrBnr，v(0,)R(0)Rn(r)Anrn2n。

设

v(r,)Rn13(r)n()An1nr2nsin2n，则

f()16asin2vr(a,)22nAn1na2n1sin2n，由可求得： v(r,)An1nr2nsin2na12rsin2，2其中，An2na2n1/20f()sin2nd，124rsin2。

u(r,)v(r,)

数理方程分离变量法（优秀）

第八章分离变量法22u2ua0xl,t022tx u(0,t)0,u(l,t)0t0u(x,0)u(x,0)(x),(x)0xlt对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理......

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