离散数学及其应用集合论部分课后习题答案_离散数学集合论习题

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作业答案：集合论部分

P90:习题六

5、确定下列命题是否为真。（2）（4）{}

（6）{a,b}{a,b,c,{a,b}} 解答：（2）假（4）真（6）真

8、求下列集合的幂集。（5）{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}（6）{{,2},{2}} 解答：

（5）集合的元素彼此互不相同，所以{2,1,1,2}{1,2}，所以该题的结论应该为

{,{{1,2}},{{2,1,1}},{{1,2},{2,1,1}}}

（6）{,{{,2}},{{2}},{{,2},{2}}}

9、设E{1,2,3,4,5,6}，A{1,4}，B{1,2,5},C{2,4},求下列集合。（1）A（2）解答：（1）A（2）

31、设A,B,C为任意集合，证明 B

(AB)

B{1,4}{3,4,6}{4}

(AB){1}{2,3,4,5,6}

(AB)证明：

(BA)(AB)(AB)

(AB)(BA){x|xABxBA}{x|(xAxB)(xBxA)}{x|(xAxB)(xBxB)(xAxA)(xBxA)} {x|(xAxB)(xBxA)}{x|(xA{x|(xAA

B)(xAxB)}{x|(xAB)(xABB)}{x|(xAB)(xAxB)}B)}B)(xABA34、设A,B为集合，证明：如果(AB)证明：（反证法）

设aA(BA)AB，则AB。

B，则aA,aB，所以aAB,aBA； 所以a(AB)但是aA与(AB)

37、设A,B,C为任意集合，证明：CACBC(A证明：

对任意xC，由于CA,CB，所以xA且xB所以xA因此，C(A

(BA)

B矛盾。

B)。

B B。

(BA)AB)。

P121:习题七

5、设A,B为任意集合，证明

若AABB，则AB。

证明：

xAx,xAA

x,xBBxB所以有AB

9、设A{1,2,4,6}，列出下列关系R（2）R{x,y|x,yA|xy|1}（3）R{x,y|x,yAy为素数} 解答：

11、Ri是X上的二元关系，对于xX定义集合（2）R{1,2,2,1}

（3）R{1,2,2,2,4,2,6,2}

Ri(x){y|xRy}

显然Ri(x)X。如果X{4,3,2,1,0,1,2,3,4},且令

R1{x,y|x,yXxy}

R2{x,y|x,yXy1xy2} R3{x,y|x,yXx2y}

求R1(0),R1(1),R2(0),R2(1),R3(3)。解答：

R1(0){1,2,3,4}R1(1){2,3,4}R2(0){1,0}R2(1){2,1}R3(3)，B{1,3,2,4,4,2}。求A13、设A{1,2,2,4,3,3}

B，AB，domA,domB,dom(A解答：

B),ranA,ranB,ran(AB),fld(AB).AAB{1,2,2,4,3,3,1,3,4,2} B{2,4}

domA{1,2,3} domB{1,2,4} dom(AB){1,2,3,4}

ranA{2,3,4} ranB{2,3,4} ran(A B){4}

fld(AB){1,2,3}

16、设A{a,b,c,d}，R1,R2为A上的关系，其中

R1{a,a,a,b,b,d}，R2{a,d,b,c,b,d,c,b}。求R1R2，R2R1，R12，R23。

解答：

R1R2{a,d,a,c,a,d} R2R1{c,d}

R12{a,a,a,b,a,d} R22{b,b,c,c,c,d} R23{b,c,b,d,c,b}

20、给定A{1,2,3,4}，A上的关系R{1,3,1,4,2,3,2,4,3,4}（1）画出R的关系图。（2）说明R的性质。解答：

（1）

（2）R具有反自反性，反对称性，传递性

21、设A{1,2,3}，图7.11给出12种A上的关系，对于每种关系写出相应的关系矩阵，并说明它所具有的性质。

解答：

110（a）111,具有自反性。101110（b）001,具有反对称性和传递性。100111（c）111,具有自反性，对称性和传递性。111

23、设R的关系图如图7.12所示，试给出r(R)，s(R)和t(R)的关系图。

25、设A{1,2,3,4}，R是A上的等价关系，且R是A上所构成的等价类为{1},{2,3,4}。（1）求R。（2）求RR（3）求R传递闭包。解答：

（1）R{1,1,2,2,3,3,4,4,2,3,3,2,2,4,4,2,3,4, 14,3}

（2）由于等价关系满足对称性，所以R所以RR11R

R

（3）由于等价关系满足传递性，所以传递闭包为其自身，即t(R)R

26、对于给定的A和R，判断R是否为A上的等价关系。（1）A为实数集，x,yA,xRyxy2。（2）A{1,2,3}，x,yA,xRyxy3。（3）AZ，x,yA,xRyxy为奇数。

（5）AP(X),CX，x,yA,xRyxyC 解答：

（1）不是，不满足自反性、对称性、传递性。（2）不是，由于A{1,2,3}集合较小，①自反性：xA,xx3x,xR

②对称性，x,yR,xy3yx3y,xR 但是传递性不满足，1,3,3,2R，但是1,2R。（3）不是，满足对称性、传递性，但是不满足自反性 取x2，但是224不为奇数，所以2,2R。

（5）满足

①自反性：xAxXxxCx,xR ②对称性：x,yRyxxyCy,xR ③传递性：x,y,y,zR

xyC,yzC (xy)(yx)C,(yz)(zy)C(xy)C,(yx)C,(yz)C,(zy)C下面证明(xz)C

a(xz)ax,az

若ay，则ayz，所以aC 若ay，则axy，所以aC

所以(xz)C，同理可证，(zx)C 所以xz(xz)(zx)C 所以x,zR。因此满足传递性。

27、设A{a,b,c,d},A上的等价关系

R{a,b,b,a,c,d,d,c}IA

画出R的关系图，并求出A中各元素的等价类。解答：关系图为

等价类[a][b]{a,b}；[c][d]{c,d}

30、设A{1,2,3,4},，在AA上定义二元关系R，u,v,x,yAA,u,vRx,yuyxv。

（1）证明R为AA上的等价关系。（2）确定由R引起的对AA的划分。解答：（1）证明：

①自反性：x,yAA，由于xyxy，所以x,y,x,yR； ②对称性：x,y,u,vR

有xvuy，所以uyxv 因此u,v,x,yR

③传递性：x,y,u,v,u,v,s,tR

有xvuy，utsv，所以xsty 因此x,y,s,tR。

（2）等价类有

[1,1]{1,1,2,2,3,3,4,4} [1,2]{1,2,2,3,3,4} [1,3]{1,3,2,4} [1,4]{1,4} [2,1]{2,1,3,2,4,3} [3,1]{3,1,4,2} [4,1]{4,1}

37、对于下列集合与整除关系画出哈斯图。（1）{1,2,3,4,6,8,12,24}（2）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解答：（1）

（2）

38、针对图7.14中的每个哈斯图，写出集合以及偏序关系的表达式。

解答：

（a）集合为A{1,2,3,4,5}，偏序关系为{1,3,1,5,2,4,2,5,3,5,4,5}IA（b）集合为B{a,b,c,d,e,f}，偏序关系为{a,b,c,d,e,f}IB（c）集合为C{1,2,3,4,5}，偏序关系{1,2,1,3,1,4,1,5,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5}IC

40、分别画出下列偏序集A,R的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。

（1）A{a,b,c,d,e,f}，R{a,d,a,c,a,b,a,e,b,e,c,e,d,e}IA

R{c,d}IA（2）A{a,b,c,d,e}

解答：

（1）哈斯图为

极小元为a,f,极大元为e,f，无最大元、最小元（2）哈斯图为

极小元为a,b,c,e，极大元为a,b,d,e，无最大元、最小元

41、A{1,2,3....,12}，R为整除关系，B{x|2x4}，在偏序集A,R中求B的上界、下界、最小上界和最大下界。

解：下界即为公约数，2，3，4的公约数只有1，所以下界为1，最大下界也为1；

下界即为公倍数，2，3，4的公倍数只有12，所以上界为1，最大上界也为12；

P141:习题八

4、判断下列函数中哪些是满射？哪些是单射？哪些是双射？（2）f:NN,f(x)x22（4）f:N{0,1},f(x)01xisodd

xiseven（6）f:RR,f(x)x22x15

解答：（2）单射；（3）满射；（4）既不为单射也不为满射。

{1,2,3}

5、设X{a,b,c,d},Y，f{a,1,b,2,c,3}，判断下列命题的真假。

（1）f是从X到Y的二元关系，但不是X到Y的函数。（3）f是从X到Y的满射，但不是单射。解答：（1）真；（3）假

15、设A{a,b,c}，R为A上的等价关系，且R{a,b,b,a}IA，求自然映射g:AA/R。

解答： A/R{{a,b},{c}}

{a,b}g(x)cxa,b xc19、设f,g是从N到N的函数，且

x1f(x)0x（1）求f（2）说明f解答： x0,1,2,3x4x5g

x

g(x)23xiseven

xisoddg是否为单射、满射、双射？

（1）f3x1gg(f(x))20x2x0,2,5,7,9......x1,3x4x6,8,10,12.....（2）为满射，但是不为单射。

20、设f:NNN，f(x)x,x1（1）说明f是否为单射和满射，说明理由。

（2）f的反函数是否存在，如果存在，求出f的反函数；（3）求ranf。解答：

（1）xy时，x,x1y,y1，所以为单射； 而对1,3NN，不存在xN，使得f(x)x,x1，所以不为满射。

（2）不存在反函数，因为不是双射函数；（3）ranf{x,x1|xN}

22、对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数。（1）A{1,2,3},B{a,b,c}（2）A(0,1),B(0,2)

（3）A{x|xZx0},BN（4）AR,BR 解答： a（1）f(x)bc（2）f(x)2xx1x2 x3x(0,1)（3）f(x)x1

（4）f(x)ax(a0,a1)

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