第二节 重要不等式_第二节不等式的证明

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第二节 重要不等式

在自主招生与竞赛的考试中，经常会出现对一些重要不等式的考查，主要有：绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式、权方和不等式、琴生不等式及卡尔松不等式等.下面我们来认识这些不等式及这些不等式的应用.一．绝对值不等式

从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及距离的长短、面积的大小、重量的轻重等等，它们都要通过非负数来表示.因此，绝对值不等式具有非常重要的现实意义.定理1如果a、b都是实数，则|ab||a||b|，当且仅当ab0时等号成立.定理2如果a、b、c都是实数，则|ac||ab||bc|，当且仅当(ab)(bc)0时等号成立.例1.解不等式|x5||2x3|1.练习：（1）求证：对于任何实数a，b，三个数|ab|、|ab|、|1a|中至少有一个不小于.（2004年同济大学）

（2）若对一切实数x都有|x5||x7|a，则实数a的取值范围是（）

A.a12B.a7C.a5D.a2（2008年复旦大学）

（3）设实数a使得不等式|2xa||3x2a|a2对任意的实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A.[,]B.[,]C.[,]D.[3,3]（2007年一试T2）例2.求f(x)|x1||2x1|121***|2011x1|的最小值.（2011年北约）

二．平均值不等式

设ai0（i1,2,调和平均值Hn,n），记这n个数的 n

1i1ain

几何平均值Gn算术平均值Anai1ni

n

方幂平均值Xn则HnGnAnHn，当且仅当a1a2an时等号成立.例3.设有正数a，b满足ab，若有实数x1，x2，y1，y2使得x1y1是a，b的算术平

均值，x2y2是a，b的几何平均数，的取值范围.（2004年同济大学）

22例4.若正数a,b,c满足abc1，求证(a)(b)(c)例5.设

1a1b1c1000

.（2009年南京大学）27

x

5，证明不等式（2003年一试）

2例6.n个正数x1,x2，xn满足xi1.i

1n

x

12x2

求证：

x1x

2x2x322xnxn11.xn1xnx

nx12

练习：设x,y,z[0,1]，则M.（2012一试3）

三．柯西不等式

柯西（Cauchy）不等式：对于任意的两组实数a1,a2,n

n

2i

n,an和b1,b2，bn(n2)，有

(aibi)(a)(bi2)，等号当且仅当aibi(,为常数，i1,2，n)时成立.i1

i1

i1



当ai,biR时，等号成立的条件可以改写为

a1a2

b1b2



an

.bn

这就是著名的柯西不等式的一般情况.从运算的角度来看，就是“乘积和的平方不大于平方和的乘积”.对于柯西不等式，有以下几条需要说明：

1：由于“

a

i1n

n

2i

0,b0,aibi0”情况之一出现时，不等式显然成立，因此，2ii1

i1

nn

在讨论中不妨设

a

i1

2i

0,b0,aibi0都成立.2ii1

i1

nn

2：柯西不等式取等号的条件常常可以写成比例形式

aa1a2

＝＝n，并约定：分b1b2bn

母为0时，相应的分子也为0.“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分.3：使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立.这个不等式告诉我们，任意两组实数a1,a2，an和b1,b2,“求和”、再“平方”,bn(n2)其对应项“相乘”之后、三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和、最后相乘，运算的结果不会不变小.推论1：若ci0(i1,2,x12x

2,n,n1)，则

c1c2

2xn(x1x2xn)2，当且仅

cnc1c2cn

当

x1x2

c1c2



xn

时成立.cn

2xn(x1x2xn)2.当且仅ana1x1a2x2anxn

x12x2

推论2：当ai0,ci0(1in)时，

a1a2

当a1a

2an时成立.,n)时，(aibi.i

1i1

i1

n

n

n

推论3：当ai,bi0(i1,2,例7.设P为ABC内一点，它到三边BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3,S为ABC的面

abc(abc)2积，求证：.（2009年南京大学）

d1d2d32S

.求证：3a9b27c1.（2008年西安交通大学）2

121212

例9.设a,b,cR，且abc1，求证：(a)(b)(c)的最小值.abc

例8.设实数a,b,ca2b3c

（2008年南开）

例10.已知x,y,z0，xyz3，求证：

xyz

1.323232

xyzyzxzxy

（2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）

9222



xyz,例11.在实数范围内求满足方程组的实数x,y,z的值.（2008年同济）

48x6y

24z

39

例12.求函数y（2009一试11）

四．排序不等式

排序不等式：设a1a2

b1b2an，bn为两组实数，c1,c2，cn是b1,b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1当且仅当a1a2

anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，an或b1b2bn时，等号成立.例13.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i（i1,2，10）个人的水桶需要

ti分钟，假设这些ti各不相同.问只有一只水龙头时，应如何安排10个人的顺序，使他们等

候的总时间最少？这个最小的总时间等于多少？

例14．设a1，a2，„，an是n个互不相同的自然数，证明：

1

112

3

1aa122n2



an

.2n

abc

3.xyz

练习：已知x、y、z0，a、b、c是x、y、z的一个排列.求证：

（2009年清华大学）

五．琴生不等式

凸函数：一般地，设f(x)是定义在区间(a,b)上的函数，如果对于定义域内的任意两个数x1，x2都有f（x1x2f(x1)f(x2))，则称f(x)是(a,b)内的下凸函数.22xx2f(x1)f(x2))同理，如果有f(1，则称f(x)为(a,b)内的上凸函数.2

2我们一般说的凸函数，通常来言是指的下凸函数.性质1（琴生不等式）对于(a,b)内的下凸函数f(x)，有

f（x1x2

n

xn)

f(x1)f(x2)

n

f(xn)

.性质2（加权琴生不等式）对于(a,b)内的下凸函数f(x)，若a1a2an1，则

f(a1x1a2x2anxn)a1f(x1)a2f(x2)anf(xn).对于上述的两个关于琴生不等式的有关性质，我们将“”改为“”，即得上凸函数的琴生不等式.例15.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角，求tanAtanBtanC的最小值.（2010年北京科技大学）

222

例16.已知A、B、C(0,)，且sinAsinBsinC1.求ABC的最大值.π2

（2013年清华大学夏令营）

未完，待下周续……

重要不等式

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