例说不等式求最值的方法和技巧_基本不等式求最值技巧

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例说不等式求最值的方法和技巧

陕西洋县中学教科处（723300）刘大鸣

重要的不等式的使用须满足“一正数、二定值、三取等号的条件”.常常创造满足三个条件求最值或借助重要的不等式构建不等式解最值.本文就此方法和技巧归纳如下.1“ 增添项凑定值”.例1 ⑴ 若ab0,求ya

2abb的最小值.⑵ 若

ab0,求ma2

bab的最小值（教材31页3题）

简析：⑴ “增添项均拆凑定值”用不等式求解.ya

2ab2（当且仅当abb2bb3，a2b

a2b时取等号）.即 ab时，y的最小值为3.⑵“增添项凑

定值” maab1616

babab 如何凑定值？对

bab变形为1616aabab，则maab1616

aabab

ab4，故

a2,b1时，m的最小值为4.部分分式和换元法“凑定值”.假分分式类函数用多项式除法，部分分式和换元法“凑定值”用不等式求解.例2 求 y

sin2x3cosx4

cosx2的最小值.简析：“降元”，部分分式，换元“凑定值”用不等式求解，2

y1cosx3cosx41cosx2

2cosx

2cosx1u1

u

1，u1,3，则y1当且仅u当

1,即cosx1时取等号.即cosx1时，y的最小值为1.整体代入或三角换元“凑定值”.例3 设x,yR,x2y1,求11

xy的最小值

简析：若 1x2y2xy,则

1xy

22，1x1y2xy42，两次用不等式不能同时取等号，思维受阻.若整体代入“凑定值”或三角换元“凑定值”，一次用不

等

式

思

路

通

畅

.⑴

11x2yxxyx2yy32yxxy

322（当且仅当x21,y1

时取等号）即最小值为322；⑵ 设 xcos2,ysin2,

0,2

，则

11113tg22

xycos2sin2

2c322t.（当且仅当g

arctg20,

2

时取等号）.即最小值为322.平方“凑定值”.对值域为非负实数的函数最值问题，当直接“凑定值”困难时，常常“平方凑定值”.例4（96高考）求母线长为1的圆锥体积最大时的侧面展开图的圆心角的度数.简析1：目标函数“平方凑定值”借助取等号条件解决.r、h为圆锥底面半径和高.易知,v=r2h,r2+h2

=1.为“凑定值需

平方”，v2218r2r2(2h2）22当且仅当r2=2h2.即r=时，1833体积最大.此时，侧面展开圆心角为2

6

.3

简析2：引入母线下底面所成角，用“平方关系凑定值”.借助取等号条件解决.设为母线与底面所成角，则v=

/18·cos2

cos2

(2sin2

)/18·(2/3)3,当

且仅当cos6时取等号.故体积最大时，侧面展开圆心3

角为26.3巧用重要不等式结论“凑定值”.利

用

结

论

“

a,b,cR,则有a2b2c2abc3

33abc

111abc时取” 等

abc

常常能出奇制胜.例5 设a,b,cR,abc1,求abc的最大值.简析：由题设知平方和为定值，求和的最大值，用结论

a2b2c2abc

3

有，3abca

，将已知代入有，a3.故abc3

时，ac的最大值为3.构建不等式解最值.不等式性质和重要的结论，揭示了几个正数的和、积、平方和、倒数和之间的关系，为构建不等式解最值或范围提供了方法和依据.例已知

a,b

为不相等的正数，且

a3b3a2b2,求ab的最大值.简析：若直接用不等式求最值，难以切入.若视ab为整体，由重要不等式和题设构建不等式解最值，“简单且具有操作性”.由a3b3a2b2有a2abb2ab.由目标性配方和用均值不等式构建有，2

ab2ababab

4，化简整理为，0abab2ab

ab24,而ab0,0ab1

ab4，解之，1ab4

3.故当

ab

时，ab的最大值为3.号

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