排列组合中的分组问题_排列组合分组问题

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排列组合中的分组问题

山西省交城中学校

王峰峰

分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分组问题，实际上可运用分组问题的方法来解决。

一、分组与分配的区别

将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题。分定向分配和不定向分配两种情况。

将n不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有整体平均分组、部分平均分组、不平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然要区分的。对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题

例1.六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？

22分析：分组与顺序无关，是组合问题。分组数是C26C4C2=90(种)，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A33，所以分法是222C6C4C2=15(种)。

3A3整体平均分组是指将所有元素分成所有组元素个数相等的组。

例2.六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？

11分析：先分组，方法是C4那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，6C2C1=30(种)，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的411C6C2C1本数不一样，不可能重复。所以实际分法是=15(种)。2A2部分平均分组是指将所有元素分成部分组元素个数相等的组。

例3.六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？

233分析：先分组，方法是C16C5C3，那么还要不要除以A3？我们发现，由于每组的书

23的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有C16C5C3=60(种)分法。

不平均分组是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1,m2,m3,,mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是

23pCn1Cnm1Cnm1m2„CmpmmmmAkk。

三、基本的分配问题 1.定向分配问题

例1.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）甲两本、乙两本、丙两本；（2）甲一本、乙两本、丙三本；（3）甲四本、乙一本、丙一本。

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：

222（1）C6C4C90

123（2）C6C5C360 411（3）C6C2C130

2.不定向分配问题

例2.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）每人两本；

（2）一人一本、一人两本、一人三本；（3）一人四本、一人一本、一人一本。

分析：此题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、3丙三人”，因此需要将分组方法数再乘以A36，即

222C6C4C3（1）A390 3A31233（2）C6C5C3A3360 32C1（3）C6C2A390

A2411结论:一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。（解不定向分配题的一般原则：先分组后排列）

例3.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法：(1)每组两本，(2)分别为一本、二本、三本，(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是222411C6C4C2+123+C6C2C1=90(种)。再考虑排列，即再乘以3。所以一共有540种不C6C5C3A332A3A2同的分法。

四、分组、分配问题的变形问题

例1.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为

112C4C3C2先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有(种)，2A2112C4C3C24然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有A4=144(种)。2A2例2.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，112C10C9C8共有(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担2A2甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有112C10C9C82=2520(种)不同的选法。A22A2例3.设集合A1,2,3,4，B6,7,8，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？

分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、112C4C3C21、2，则共有(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以A33，所以共有2A2112C4C3C23=36(个)不同的函数。A32A2

练习：

1.[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)2.[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种

B．70种

C．75种

D．150种

3.（2013年北京卷）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.4.（2012年新课标卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）（A）12种

（B）10种

(C)9种

（D）8种

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