南京工业大学浦江学院11级 第 二 学期 期末考试试题_第一学期期末考试试题

南京工业大学浦江学院11级 第 二 学期 期末考试试题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“第一学期期末考试试题”。

南京工业大学高等数学 B试卷（A）卷（闭）

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）

1、方程y2y3y1的一个特解为

2、设yoz平面上曲线y2z2b2c21绕z轴旋转所得到的旋转面方程为.3、设D:0ya2x2,0xa，由二重积分的几何意义知a2x2y2dxdy.4、已知向量crrD

与ar(1,1,1),b(2,1,3)都垂直，且向量arbr，cr构成右手系则cr.5、曲面:x23xyz8x40在P(1,3,2)处的切平面的法向量是

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）

1、下列微分方程中（）可以被称为是关于y的贝努里微分方程

（A）dyx3y2dxxy（B）dydx(x21)y2

（C）dydxxyex（D）dydxx2y2

x22、设有直线L1:x1y1z2x3y2z1112及L2:354则L1,L2的位置关系为（（A）异面（B）平行（C）垂直（D）相交

3、对二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)处的下列叙述中正确的是（）

（A）若在P0处的偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在，则f(x,y)在P0处连续

（B）若fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在，则dzfx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dy

（C）若f(x,y)在P0处不连续，则在P0处的偏导数必不存在（Ｄ）若f(x,y)在P0处的两个偏导数连续，则f(x,y)在P0处必可微分

4、若区域D为(1,1)，(1,1)，(1,1)三点围成的区域，D1是D在）.(A)若un

n1



收敛，则

u

n1



n100收敛

(B)若un

n1





收敛，则

u

n1



n收敛



un1

1，则un(C)若lim

nun1n

收敛

(D)若(unun1)收敛，则un

n1

n1



收敛

三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）

1、（７分）求微分方程

dy2y

(x1)5的通解。dxx1

2z2、（７分）设zxycos(x2y)求。

xy3,1)并且与直线

3、（７分）求过点M0(1,xyz

垂直的平面方程． 324

x所围成的闭区域。

4、（７分）计算



D

siny

dxdy，其中D是由直线yx与yy



n

xn15、（９分）求出幂级数(1)的收敛域及其和函数

n1n0

６、（9分）设函数z

z(x,y)由方程F(x

zz,y)0确定，求dz yx



7、(9分)求方程y

四、应用题（8分）



2xy

1x2的通解

试求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积．

五（本题7分）要求用两种不同的方法计算二重积分



D

x2222

dxdy，其中D:xya

x2y2

(a0)（注意如果用一种方法正确解出可得4分）

一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

x2y2z21

211、y2、2

3bb2c

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）

1、(A)

2、(A)

3、(D)

4、(A)

5、(A)

三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书）

1、(本题7分)解：

a4、(4,1,3)

5、(3,3,1)

3、6

P(x)dx12x1dxe解：因P=e(x)积分因子

x1(x1)2



2方程两边乘

(x1)2112

y)(x1)(x1)2，得到，(22

(x1)(x1)

51y两边积分：

(x1)



(x1)dx=(x1)2C

(x1)2C]，-----------------------7分 通解为：y(x1)[

32、解：

z

ysin(x2y)

x

2zz

=()=12cos(x2y)--------------------7分

xyxx

n(3,2,4)。由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为

3、解：平面法向量

3(x1)2(y3)4(z1)0

3x2y4z70----7分

4、解：原式=

dy

1y

y2

111siny

dx= =(sinyysiny)dy =sinydy-ysinydy

000y

=

5、解：因

1sin1----7分

n21

xub1(xn2 =limx lim

nnu(xn11nx

n1

所以，当

x1，即1x1时，幂级数绝对收敛





11n，此时发散；当x1时，级数为(1)，此时收敛，所以收敛域为

n1n1n0

当

x1时，级数为

n0

(1,1]4分

xn1

(x)(1)设s1x1，n1n0



n

xn11

s(x)(1)()=(1)nxn1x1，n11xn0n0



n

所以

s(x)dx

x

01xdx1x1

x

(x)s(0)ln(1x)s(x)ln(1x)-------------------5分s6、解：设

G(x,y,z)F(x

zz,y)则 yx

GxF1F2(

所以

11zz

FF，G，G F()F)z12y1222

yxyx

zzF1F2F222GzzGxyxy==，1111yGzxGz

F1F2F1F2yxyx

F1

zz

F1F2F222

yxdxdz=dy-9分 1111

F1F2F1F2

yxyx

F1

（若用其他方法解，自己掌握）

7、解：令

yp，则 y

dp

dx，方程化为

dp2xp

dx1x

2分离变量并两边积分得到

lnpln(1x2)lnC

1yC1(1x2)--------------------5分

yC1(x

x)C2--------9分

3四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为

x,y,z

则表面积为2xy2xz2yz，体积为Vxyz

设乘数函数：

F(x,y,z)xyz(2xy2xz2yza2)

则 由

Fxyz

Fyxz

Fzxy

2xy2xz

2(yz)02(xz)02(xy)02yza2

a

唯一驻点xyz

a

由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为时，可使体积最大

五、（本题7分）

解法一：利用极坐标计算：令

xrcos,yrsin，则



D

2ax2r2cos22

dxdyrdrd= =dcosrdr

22200xyrD

=



2

a21cos212a

r0d=

222

---------------------------4分

解法二：利用对称性：



D

x2y2

dxdy=2dxdy，因此，222xyDxy



D

x2x2y21

dxdy=【2dxdy+2dxdy】

2222

2xyDxyDxy

=



D

x2y2a2

dxdy=

2xy

3分

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