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答 辩 摘 要
学生姓名：
论文题目：《代数学基本定理及其应用》 代数学基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用，因为19世界以前的代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程。通过代数学基本定理使多项式根的个数问题以及因式分解问题在原则上获得解决，而且还得到很多基础的代数结论。在收集了大量的文献资料，其中主要来自网上的论文期刊、图书馆的书目、学习教材的理论资料。经过阅读主要参考资料，拟定提纲，写开题报告，初稿，并在XX导师的耐心指导和帮助下，经过多次修改最终正式定稿。具体来说，我的论文分为以下三个部分：
第一部分，主要叙述代数基本定理的内容，以及在证明该定理时将要用到的一些基本定义及定理，像复分析中的刘维尔定理，儒歇定理，柯西定理，留数定理，等。
第二部分，主要叙述代数基本定理的证明，这也是本论文的重点，在证明过程中我运用复分析的结论给出了9种证明，运用代数拓扑的结论给出了6种证明，最后运用概率论也成功的证明了该定理，其中运用复分析证明该定理最为简单明了。由于从正面直接证明代数基本定理是很困难的所以我的证明基本都是运用反证法先对代数基本定理的结论进行否定，再经过正确的逻辑推理导出与已知条件或定理或公理矛盾，从而假设不成立，使定理间接得到证明。此外也多次运用构造辅助函数的方法，使证明变得更加简单。
第三部分，主要叙述代数基本定理的应用，该定理在代数学中起着基础作用，像在因式分解方面以及求解多项式函数方程等。但同时我们也注意到了它的局限性，虽然代数基本定理确定了一元多项式的根的个数但是却没能够指出求解根的具体方法。
经过本次论文写作，我受益匪浅，但由于学生能力不足，加之时间和精力有限，使得文章存在很多不足，希望各位老师能够提出宝贵的意见，学生将虚心接受。
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