复旦大学2000年高等代数_复旦大学高等代数

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复旦大学高等数2000

1． 求方阵

101111

110的逆阵。

2． 设A为一个n阶方阵且A的秩等于A的秩。证明A的秩等于A的秩。

3． 设A为一个n阶正交阵，x1,x2,,xn1为一组线性无关的列向量，对于1in1都

有Axixi。如果A的行列式等于1，证明A是单位矩阵。

4． 设n是一个自然数，V是由所有nn实矩阵构成的n2维实向量空间，U和W分别为

由所有nn对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明VUW，既V是U和W的直和。

5． 设K为一个数域，K[x]为K上以x作为不定元的多项式全体所组成的集合。设23

f(x)g(x)其中f(x),g(x),h(x),q(x)K[x]。假定f(x)q(x)g(x)h(x)是Ah(x)q(x)，

K中的一个不等于零的数。证明A可以表示成有限多个以下类型的矩阵的乘积：101s(x)a0r(x)1,01,0b,其中a,b是K中的非零数，而r(x),s(x)K[x].

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