湖南大学2004年高等代数真题_湖南大学数学分析真题

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湖南大学2004年高等代数真题

2111000120010010200101.证明A不是一个正定矩阵，其中A1002001。

010020000100200001002

2.已知n阶方阵A的秩，试求其伴随矩阵A*的秩。

3.令s1（n，F）={A|A是数域F上的n阶方阵，并且A的迹是零}，找出向量空间s1（n，F）的一组基，其中矩阵A的基被定义为A的主对角线元素之和。

4.问当p是奇素数时多项式xppx1是否在有理数域上可约？如果是，请证明；如果不是，请举例说明。

1261035.在复数域上求矩阵A的约当标准型，并且写出其初等因子。

114

6.设是n维欧氏空间V的一个单位向量，定义A2(,)，这个变换被称为镜面反射。证明：

（i）每个镜面反射A是一个正交变换，并且A在标准正交基下的矩阵的行列式为-1.（ii）如果B是一个正交变换，并且B的特征根1的特征子空间是n-1维的，那么，B是一个镜面反射。

7.设A为n阶实可逆矩阵。证明：A可以分解成A=QR，其中Q为正交阵，R是一个对角线上全为正实数的上三角阵，并且这种分解是唯一的。

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