9.5 空间向量及其运算_95空间向量及其运算

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课题：5空间向量及其运算(一)

教学目的：

12教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，整个空间被3(x，y，z)

教学过程：

一、复习引入：

(1)

(2)向量的表示：几何表示法 AB，a；坐标表示法axiyj

(x,y

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a 

a(4)特殊的向量：零向量＝0｜a｜＝单位向量a0

为单位向量｜a0｜＝(5)相等的向量：大小相等，方向相同 x1x2(x1,y1)(x2,y2)yy2

1

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，a∥b进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线

和性质

(1)平面向量基本定理



e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实

数1,2，使a1e12e2(2)两个向量平行的充要条件





a∥ba＝λbx1y2x2y1

(3)

两个向量垂直的充要条件



a⊥ba·b＝Ox1x2y1y2

(4)线段的定比分点公式

设点P分有向线段所成的比为λ，即PP2，则 1＝λPP

OP＝

xy

＋OPOP2(线段的定比分点的向量公式)1

11

x1x

2,1

(线段定比分点的坐标公式)y1y2

.1

当λ＝1时，得中点公式：

x1x2x,12

OP＝（OP2）或1＋OP2yy1y2.2

(5)平移公式

设点P(x,y)按向量a(h,k)平移后得到点P(x,y)，则OP＝OP+a或



xxh,

yf(x)a(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为：，曲线按向量

yyk.ykf(xh)

(6)正、余弦定理 正弦定理：

abc

2R.sinAsinBsinC

b2c2a

2余弦定理：abc2bccosAcosA

2bc

c2a2b2

bca2accosBcosB

2ca

222

cab2abcosCcosC2

二、讲解新课：

1．空间向量的概念：

32．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

OPa(R)



运算律：⑴加法交换律：abba

OBOAABab

BAOAOBab



⑵加法结合律：(ab)ca(bc)

⑶数乘分配律：(ab)ab

3．平行六面体：



平行四边形ABCD平移向量a到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－ABCD

三、讲解范例：

例1 ABCD－ABCD化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.⑴ABBC；⑵ABADAA； ⑶ABAD解：如图：

⑴ABBCAC；

1CC； ⑷(ABADAA2

3⑵ ABADAA=ACAAAC；

CCACCMAM； 211

⑷设G是线段AC的三等份点，则(ABADAA)ACAG33

⑶设M是线段CC的中点，则ABAD

向量AC,AC,AM,AG如图所示:

例2已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD；（2）AB解：如图，11

(BDBC)；（3）AG(AB

AC)． 2

2A

B

M

C

G

D

（1）ABBCCDACCDAD；

(BDBC)ABBCBD 222ABBMMGAG；

（3）AG(ABAC)AGAMMG．

（2）AB

四、课堂练习：

1．如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是AD与BC的中点，求证：EF

(ABDC)．

1ADDCCB A22

E(ABBD)DCCB

2211

ABDC(CBBD)DB22F

C11

ABDCCD 221

(ABDC)

2．已知2x3y3ab4c，3xy8a5bc，把向量x,y用向量a,b,c证明：EFEDDCCF

解:∵2x3y3ab4c，3xy8a5bc ∴x3a2bc，yab2c

3．如图，在平行六面体ABCDABCD中，设ABa，D'A'E

C

F

A

BB'

C'

ADb,AAc，E,F分别是AD,BD中点，（1）用向量a,b,c表示DB,EF；

（2）化简：ABBBBCCD2DE； 解:（1）DBDAABBBbac

D

EFEAABBFDAaBD

(bc)a(ab)(ac)222

五、小结 ：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念；

六、课后作业：如图设A是△BCD所在平面外的一点，G是△

1AG(ABACAD

3七、板书设计

八、课后记：

C

D

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