空间向量整理_空间向量图

空间向量整理由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“空间向量图”。

向量法解决立体几何中有关问题

一、知识点归纳

1、利用向量证平行

（1）线线平行

证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．

（2）线面平行

用向量证明线面平行的方法主要有：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；

③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向

→→→→量．设直线的方向向量为c，如果在平面内找到两个向量a、b 不共线，则向量 c与向量

→→→→→a、b共面的充要条件是存在实数对x,y，使c=xa+yb．

（3）面面平行

①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；

②转化为线面平行、线线平行问题．

2、利用向量证垂直

（1）线线垂直

证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即ab0ab．

（2）线面垂直

用向量证明线面垂直的方法主要有：

①证明直线方向向量与平面法向量平行；

②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．

（3）面面垂直

①证明两个平面的法向量互相垂直；

②转化为线面垂直、线线垂直问题．

3、利用向量求角

（1）求两异面直线所成角

已知两异面直线a,b，A,Ba,C,Db，则异面直线所成的角为

：

但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,，cos2故实质上应有：cos|cos,CD|．

（2）求线面角

求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．

（3）求二面角的大小。

方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．

方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．

方法3：（法向量法）、分别是平面和平面的法向量，那么(或者其补角)与二面角-l-的大小相等。

4、利用向量求距离

空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．

（1）点与点的距离

点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．

（2）点到平面的距离

已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则A到平面的距离d|AB||cosAB,n||AB（3）两条异面直线距离：

ABndn



|

.方法：a、b为异面直线，a、b间的距离为：

n其中与a、b均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点

二、巩固训练

1．已知a =(2, –1, 2), b =(2, 2 , 1), 则以a, b 为邻边的平行四边形的面积是

(A)

565.(B)2.(C)4.(D)8.2.已知a=(3，－2，－3)，b=（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是

A．（－2，+∞）

B．（－2，3）∪（3，+∞）5D．（3，+∞）

C．（－∞，-2）



FFFFFF3..已知1=i+2j+3k，2=－2i+3j－k，3=3i－4j+5k，若1，2，3共同作用在一个物体

上，使物体从点M1(1, －2, 1)移到点M2(3, 1, 2)，则合力所作的功为

（A）10（B）12（C）14（D）16



4．已知ab(2,2,2)，ab(0，0)，则cosa,b等于

1166

(A)3(B)6(C)3(D)6

ABC内的射影为5．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．

B

C

D．

3

6．同时垂直向量a(2,2,1),b(4,5,3)的单位向量是



ba

7．已知向量a(1t,1t,1),b(2,t,t)，则的最小值为



xAByACzAS8.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝，则x＋

y＋z＝．

9．空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG = 2GN，用基底{OA，OB，OC}表示向量OG.10、如图，正四棱锥SABCD的高SO

2，底边长AB。求(1)异面直线BD和SC之间的距离.(2)点O到平面SBC的距离(3)直线AD与平面SBC的距离









11．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC



4,OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中点。

（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

15．如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，AP=BQ=b（0

PQEF∥AD，截面PQGH∥AD．

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若DE与平面PQEF所成的角为45，求DE与平面PQGH所成角的正弦值．

D

APCA

13.已知斜三棱柱ABC―A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠BAA1＝120∠CAA1＝60°，AB＝AC＝1，AA1＝2，O是B1C和BC1的交点．



→→→→

（Ⅰ）用基向量AB、AC、AA1表示向量AO；

（Ⅱ）求异面直线AO与BC所成的角；

（Ⅲ）判定平面ABC与平面BB1C1C是否垂直？ 并说明理由

14． PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，且AE与PD所成角为

．（Ⅰ）求PD的长；（Ⅱ）在AD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC，若

存在，请确定F点的位置，若不存在，请说明理由．

空间向量

直线、平面、简单几何体空间向量及其运算【知识归纳】1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OBOAABab......

空间向量

空间向量空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决......

向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的......

空间向量复习

高中数学选修2—1空间向量 期末复习（基本知识点与典型题举例）为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）。2、空间直角坐标系中的坐标运算：一、空间向量的线性运算：1、空间向......

空间向量挑大梁

空间向量挑大梁学习立体几何，打倒了好多学生。要证线面垂直需要先证线线垂直，再证线面垂直，然后证线线垂直，一圈下来好多同学已经迷糊，所以好多学生的立体几何成为了数学学习中的......