单调性证明（精选5篇）_单调性的证明

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第1篇：单调性证明不等式

单调性证明不等式

x证明e≥x＋1.xx证：记K(x)＝e－x－1，则K′(x)＝e－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)

在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.1所以f(x)≤1]． 1＋x

证明(1＋x)e≥(1－x)e.－xxx－x证：记h(x)＝(1＋x)e－(1－x)e，则h′(x)＝x(e－e)，当x∈(0，1)时，h′(x)

＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．

x21．B12，B14[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.1x21．解：(1)f′(x)＝e.x＋m

由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.1xx于是f(x)＝e－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝e.x＋1

1x函数f′(x)＝e－在(－1，＋∞)单调递增，x＋1

且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时，f′(x)0.所以f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.1x当m＝2时，函数f′(x)＝e－在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)0，x＋2

故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)．

当x∈(－2，x0)时，f′(x)0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．

由f′(x0)＝0得

1ex0＝ln(x0＋2)＝－x0，x0＋2

1（x0＋1）故f(x)≥f(x0)＋x0＝>0.x0＋2x0＋2

综上，当m≤2时，f(x)>0.2－xx

第2篇：函数单调性定义证明

用函数单调性定义证明

例

1、用函数单调性定义证明:

(1)为常数)在 上是增函数.(2)在 上是减函数.分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.证明:(1)设

则 是 上的任意两个实数，且，=

由 得，由

得，.于是，即即..(2)设在 是 上是增函数.上的任意两个实数，且，则

由 得，由

得

于是 即.又，..在 上是减函数.小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.根据单调性确定参数

例

1、函数

在上是减函数，求的取值集合.分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.解：当

具备增减性.当，解得

.故所求的取值集合为

.时，函数此时为，是常数函数，在上不时，为一次函数，若在上是减函数，则有

小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用.

第3篇：函数的单调性证明

函数的单调性证明

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．

3．证明f（x）=

在定义域为[0，+∞）内是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．

第1页（共23页）

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．

6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．

7．证明：函数y=

在（﹣1，+∞）上是单调增函数．

8．求证：f（x）=

在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

9．用函数单调性的定义证明函数y=

在区间（0，+∞）上为减函数．

第2页（共23页）

10．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若

＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．

11．证明：函数f（x）=

在x∈（1，+∞）单调递减．

12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．

13．判断并证明f（x）=

在（﹣1，+∞）上的单调性．

14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．

第3页（共23页）

15．求函数f（x）=的单调增区间．

16．求证：函数f（x）=﹣

﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

17．求函数的定义域．

18．求函数的定义域．

19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．

第4页（共23页）

21．求下列函数的解析式

（1）已知f（x+1）=x2求f（x）

（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）

（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．

第5页（共23页）

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．

24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．

28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．

第6页（共23页）

29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）

31．求下列函数的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；

（2）已知f（）=，求f（x）．

32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．

34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．

第7页（共23页）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．

36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

第8页（共23页）

第9页（共23页）

函数的单调性证明

参考答案与试题解析

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：；

∵x1＜x2＜0；

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10页（共23页）），则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．

3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．

【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：

=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=

﹣（=；；

因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+

=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11页（共23页）

∴x1﹣x2＜0，2+

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．

6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）

因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．

7．证明：函数y=

在（﹣1，+∞）上是单调增函数．

=1﹣

在在区间（﹣1，+∞），【解答】解：∵函数f（x）=可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=

∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；

8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

第12页（共23页）

【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．

若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 即f（x）=

9．用函数单调性的定义证明函数y=【解答】解：∵函数y=可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；

10．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．

﹣

=

＞0，在区间（0，+∞）上为减函数． 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

在区间（0，+∞），【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，第13页（共23页）

∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．

11．证明：函数f（x）=

在x∈（1，+∞）单调递减．

【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．

12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数． ②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）

第14页（共23页）

=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．

13．判断并证明f（x）=【解答】解：f（x）=证明如下：

在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=，在（﹣1，+∞）上的单调性． 在（﹣1，+∞）上的单调递减．

∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=

14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

第15页（共23页）

在（﹣1，+∞）上的单调递减．

﹣x2﹣=（x1﹣x2）+

﹣

=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．

15．求函数f（x）=的单调增区间．

=1﹣的单调递增区间为【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）

故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）

16．求证：函数f（x）=﹣

﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：；

∵x1＜x2＜0；

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

17．求函数的定义域．

【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．

18．求函数的定义域．

第16页（共23页）

【解答】解：由故函数定义域为{x|x＜}

．

19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+

=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．

21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣

第17页（共23页）

1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令

=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=

．

（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．

（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+

22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，则2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣

24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．

第18页（共23页）

②，．

．

（x≠0）．

【解答】解：∵x＞0时，x+≥2且函数f（x+）=x2+（）2=设t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；

即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．

=2，﹣2；

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，联立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：

2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：

3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣

第19页（共23页），．

28．已知函数f（【解答】解：令t=则由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．

+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．

∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．

29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．

f（x）的解析式：f（x）=4x．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4．

31．求下列函数的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．

【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20页（共23页）

∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），则x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．

32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=则f（t）=4（）2﹣6•；

+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，则x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．

34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．

第21页（共23页）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，设x+2=t，则x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．

36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+6

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

【解答】解：设∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，则t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．

39．若函数f（【解答】解：令）=

+1，求函数f（x）的解析式．

=t（t≠1），则=t﹣1，第22页（共23页）

∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3；

（2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2

第23页（共23页）

3，

第4篇：专题：函数单调性的证明

函数单调性的证明

函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。

一、证明方法步骤为：

① 在给定区间上任取两个自变量x1、x2且x1＜x2 ② 将fx1与fx2作差或作商（分母不为零）

③ 比较差值（商）与0（1）的大小 ④ 下结论，确定函数的单调性。

在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。

二、常见的类型有两种：

（一）已知函数的解析式：

1例1：证明：函数fx=在x∈（1，+∞）单调递减

x-

1例2：证明：函数fx=x+x+1在x∈R时单调递增

3[1，+）时单调递增 例3：证明：函数fx=x-1在x∈2

例4：讨论函数fx=x+

1在（1，+）的单调性，并求最小值 x-1

例5：求函数fx= x+2的单调区间 x-1+）单调递增 练习：

1、证明函数fx=x+（a＞0）在（a，2、讨论函数fx=1+x-x的单调性

2ax

（二）fx抽象函数的单调性：

抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：

例1：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞0时，＞0.证明：f(x)在R上单调递增.例2：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.例3：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，1.若f(x)0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.练习：

1、已知函数

fx对于任意的x、y∈R，fx+fy=fx+y，且当x＞0时，fx＜0；f1=-23.f(x)＞f(x)＞总有（1）求证：fx在R上是减函数

（2）求fx在[-3，3]上的最大值与最小值

2、已知函数fx的定义域为R，且m、n∈R，恒有fm+fn=fm+n+1，且f-＞-1=0，当x21时，fx＞0.2（1）求证：fx是单调递增函数（2）求fx在[-2,2]的最大值与最小值.3、定义在R上的函数fx恒为正，且满足fx+y=fxfy，当x＞0时，fx＞1.（1）证明：fx在R上单调递增.2（2）若函数fx的定义域为[-1,1]时，解不等式fx-1＞f2x



4、函数fx的定义域为R，对于任意的a、b∈R皆有fa+fb=fa+b+1，且x＞0时，fx＞1（1）求证：fx是R上的增函数

2（2）若f4=5，解不等式f3m-m-2＜3

3

第5篇：利用函数的单调性证明不等式

利用函数的单调性证明不等式

单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快.下面主要讨论单调性在不等式中的应用.定义3.1[8]设函数fx的定义域为D , 区间I D , 如果对于区间I上任意两点x 1及x2, 当x1x2时, 恒有fx1 fx2, 则称函数fx在区间I上是单调增加的;如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时, 恒有fx1 > fx2, 则称函数fx在区间I上是单调减少的.定理3.1[8]设函数yfx在a,b上连续, 在a,b内可导.如果在a,b内fx0 , 那么函数y  fx在a,b上单调增加;如果在a,b内fx0 , 那么函数y  fx在a,b上单调减少.利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明.例3.１[3]当0x

2时, 证明:2

sinx1.x

证明构造函数f(x)sinx, 则 x

f'(x)xcosxsinxcosx2(xtanx).x2x

因为0x

调减函数.2'时, xtanx0, 即f(x)0.所以由定义知f(x)在(0,2)内为严格单

x0limf(x)f(x)limf(x).x02

f(x)1, 而limx0limf(x)x022,故1sinx2.x

x2

ln1xx.当x0 时, 证明: x2例3.2[2]

证明构造函数f(x)ln(1x)x, 则f'(x)1x, 当x0时, 11x1x

f'(x)0.所以定义知f(x)在0,内为严格单调减函数.f(x)f(0)0, 即 故x0时f(x)limx0

ln(1x)x0,ln(1x)x.x21x2

'ln(1x), 则g(x)1x再构造函数g(x)x.21x1x

当x0时g(x)0, 所以由有限增量公式知g(x)在x0时为严格单调减函数,故当x0 时, g(x)limg(x)g(0)0.即 x0'

x2x2

xln(1x)0,xln(1x).22

x2

ln1xx.综上所证, 当x0 时x2

单调性证明不等式

单调性证明不等式x证明e≥x＋1.xx证：记K(x)＝e－x－1，则K′(x)＝e－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.1所以f(x)≤1]． 1＋x证明(1＋x)e≥(1－x)e.－xxx－x证：记h(x)＝(1＋x)e－(1－x)......

函数单调性定义证明

用函数单调性定义证明例1、用函数单调性定义证明:(1) 为常数)在 上是增函数.(2) 在 上是减函数.分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，......

函数的单调性证明

函数的单调性证明一．解答题（共40小题）1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）= 在定义域为[0，+∞）内是增函数．4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x......

复合函数的单调性的证明

复合函数的单调性的证明例1、已知函数yf(x)与yg(x)的定义域都是R，值域分别是0,与,0，在R上f(x)是增函数而g(x)是减函数，求证:F(x)f(x)g(x)在R上为减函数.分析：证明的依据应是减函......

专题：函数单调性的证明

函数单调性的证明函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。一、证明方法步骤为：① 在给定区间上任取两个自变量x1、x2且x1＜x2 ② 将fx1与fx2作差或作......