推理与证明随堂练习_推理与证明练习题

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第二章 推理与证明随堂练习

例

1、.对于任意正实数a,b

成立的一个条件可以是____.例

2、已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为．

例

3、定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]=

例

4、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。sin2150sin2750sin2135033202020；sin30sin90sin150；2

233202020；sin60sin120sin18022sin2450sin21050sin21650

例

5、(2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式： 221332135421357

23353379114313151719根据上述分解规律，则5213579, 若m3(mN*)的分解中最小的数是73，则m值为.例

6、(2008惠州调研二理)函数f(x)由下表定义：

x5321

4f(x)1 2 3 4 5若a05，an1f(an)，n0,1,2,...，则a2007

例

7、(2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”，则f(5)；f(n)f(n1)．（答案用数字或n的解析式表示）

例

8、现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其a

2中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，4有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．

例

9、在平面直角坐标系中，直线一般方程为AxByC0，圆心在(x0,y0)的圆的一般方程为(xx0)(yy0)r；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为 1 22

2________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程为_______________________.例

10、（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；

（2）已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为____________．这个数列的前n项和Sn的计算公式为_____________________________________．

例

11、已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；

（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.例

12、定义a*b是向量a和b的“向量积”，它的长度|a*b||a||b|sin,其中为向量a和b的夹角，若u(2,0),uv(1,则|u*(uv)|=.例

13、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）．

A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7

例

14、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，当且仅当ac,bd；运算“”为：(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设p,qR，若(1,2)(p,q)(5,0)，则(1,2)(p,q)„„„（）

A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0,4)

例

15、对于集合A,B,定义运算AB{x|xA且xB}，则A(AB)=（）

A.BB.AC.ABD.AB

例

16、给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

①“若a、bR，则ab0ab”类比推出“a、cC,则ab0ab”②“若a、b、c、dR，则复数abicdiac,bd”类比推出 “a、b、c、dQ，则ab2cd2ac,bd”

③“若a、b、R，则ab0ab”类比推出“若a、bC,则ab0ab”

④“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数有 ．．．．

A．1 B．2C．3D．4（）

例

17、如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，„，xn，f(x1)f(x2)f(xn)xx2xnf(1).若ysinx在区间(0,)上是nn

凸函数，那么在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是________________.1x例

18、设 fx，又记f1xfx,fk1xffkx,k1,2,, 则1x

f2008x（）

1xx11A．；B．；C．x；D．； 1xx1x

aa2an例

19、（1）已知等差数列an，bn1（nN），求证：bn仍为等差n都有

数列；

（2）已知等比数列cn，cn0（nN），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．

例20、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数yf(x)(xD)，对任意

xyxy1D均满足f()[f(x)f(y)]，当且仅当xy时等号成立。22

2（1）若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)f(5)与2f(4)大小.x,y,（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.例21、对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x0,1，)(1；总有f(x)0；②f1③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)

成立，则称函数f(x)为理想函数．

(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

(2)判断函数g(x)21（x[0,1]）是否为理想函数，并予以证明；例

22、证明:若a,b0,则lgxablgalgb 2

2例23.在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC 例24.已知ab0,求证aab

例25.若abcd0且adbc，求证：dac

例26.已知a,bR,ab1，求证：(a2)(b2)

例27.已知f(x)ax2225 2x2(a1)，证明方程f(x)0没有负数根 x

1*例28.某个命题与正整数n有关，若nk(kN)时该命题成立，那么可推得nk1时

该命题也成立，现在已知当n5时该命题不成立，那么可推得

A.当n6时，该命题不成立B.当n6时，该命题成立

C.当n4时，该命题不成立D.当n4时，该命题成立

例29．已知a、b、c成等差数列且公差d0，求证：111、、不可能成等差数列 abc

a2xa2例30.设函数f(x)为奇函数.2x1

（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）用定义法判断f(x)在其定义域上为增函数

例31.设,为非零向量，且,不平行，求证，不平行

例32.已知为锐角，且tan

221，函数f(x)xtan2xsin(2

4)，数列{an}的首项a11,an1f(an).2

⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an1an；

1112(n2,nN*)⑶ 求证：11a11a21an

例33．（1）已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（k2且为偶数）时命题为真，则还需证明（）

A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立

C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立

（2）用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（）

2k12k3D.k1k1

111n,(nN,n1)时，（3）用数学归纳法证明：1+++n在第二步证明从n=k2321A.2k+1B.2(2k1)C.到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）

A.2B.21C.2kkk1D.21 k

1(n1)2 2

11111111...例35.用数学归纳法证明等式：1... 2342n12nn1n22n例34．用数学归纳法证明不等式223n(n1)

5an例36.数列{an}中，a1,an1用数学归纳法证明：an2(nN)(nN)，22(an1)

例37.在数列{an}中，a1tanx,an121an，1an

（1）写出a1,a2,a3；（2）求数列{an}的通项公式

n(n1)(2n1)6

例39.证明：1(x3)n,(nN)能被x2整除 例38.求证：12n222例40.数列an满足a11且an1(111)a(n1).，用数学归纳法证明：n2nnn2an2(n2)；

推理与证明练习

推理与证明课后练习一、选择题1．观察下列各式：11，2343，345675，456789107，以得出的一般结论是()A．n(n1)(n2)B．n(n1)(n2)C．n(n1)(n2)D．n(n1)(n2)(3n2)n2(3n2)(2n1)2 (3n1)n2 ，可(3n1)......

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