海伦公式的几种证明与推广_海伦公式的推广

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海伦公式的几种证明与推广

古镇高级中学付增德

高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积S可由以下公式求得：

s

(pa)(pb)(pc)，而公式里的p

2(abc)，称为半周长。

图

1C

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=

p(pa)(pb)(pc)

===

14141

4(abc)(abc)(acb)(bca)(a

=

[(ab)c][c14

4ab

(ab)]

b

c

2ab)[(a

b

c

2ab)]

=

(a

bc)

2ab

2ac

2bc

abc

absinC和余弦定理

教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s

c

a

b

2abcosC的证明过程：sabsinC=ab1cosnC=

ab1（a

b

c

2ab)

下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式SABC

aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。

如图2，B

图2

C

x2y2c2

222

2acb22

在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有xzb解方程，得y，2a

yzaz

a

b

c

2a，xc

y

c

（a

c

b

2a)



12a

4ac

(a

c

b)下略。在求

高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定：AB

AD

DCAC

BDAD

BCBDDCBC，等式改写为

AB



DCBC

AC



BDBC

BC



DCBC



BDBC

aa

而当点D是顶点A的正射影时,有

BDDC



ABcosBACcosC



cb

bc

22，利用比例的性质，变形得

BDBC



a

c

b

2a，DCBC



a

b

c

2a，代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么

ABACBCtata+tantantan+tan=1，222222

zz

C

图

3如图3,在△ABC中，内切圆⊙O的半径是r,则tan

A2



rx, tan

B2



ry,tan

C2



rz,代入恒等式

tan

A2

tan

B2

+tan

A2

tan

C2

+tan

B2

tan

C2

=1，得

r

xy



r

xz



r

yz

1，两边同乘xyz，有等式

r(xyz)xyz„„„①

又，bca(xz)(xy)(yz)2x，所以，x

z

abc

bca，同理y

acb。„„„②于是△ABC的面积S

(abc)r=

(yzxzxy)r=(xyz)r

=(xyz)r=

14，把①、②式代入，即得S(xyz)xyz

(abc)(abc)(bca)(acb)

三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条

边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为a,b,c,d，且p

abcd,则S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA = eEB = f

○○

∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD ∴

fae

=

efc

=

bd，SEABS四边形

ABCD

=

bd

b

解得： e =

b(abcd)d

b

③f =

b(adbc)d

b

④由于S四边形ABCD =

d

bb

S△EAB

将③，④跟b =

b(dd

b)b

代入海伦公式公式变形，得：

∴S四边形ABCD =

db

4eb

(e

b

f)

4b

d

b

b(abcd)(d

(db

224

b)

=

d

4b

b)

[（b(abcd)(d

b)



b(d(d

b)

b)



b(adbc)(d

b)

22)]

b

=

4b

(d

b)

4(ab

cd)(d

b)[(abcd)(d

2222

b)(adbc)]



=

4(d

b)1

4(abcd)(d

b)[{abcd}{d

2222

b}{adbc}]

2222

=

4(d

b)1

4(abcd)(d

b)(ab

2222

cd

d

b

2db

ad

bc)

=

4(d

b)1

4(abcd)(d

b)[b(a

2222

b

d

c)d(d

222

b

a

c)

=

4(d1

b)

(d

b)[4(abcd)(c

2222

d

b

a)]

=4

(2ab2cdc

d

b

a)(2ab2cdd

b

a

c)

=4

ac)(bd)][(bd)(ac)]

2222

(abcd)(abdc)(adcb)(bdca)

=4

=(pa)(pb)(pc)(pd)所以，海伦公式的推广得证。

图4

参考文献

［1］ 七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[M]．北京：生活·读书·新知三联书店，2003：14～

２６．

［2］ 王林全．初等几何研究教程[M]．广州：暨南大学出版社，１９９６．

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