今年又见定理证明题_今年又见定理证明题

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今年又见定理证明题

--从2012年陕西高考理科第18题谈起

周兴顺(陕西省西安市田家炳中学710500)

(作者简介：周兴顺，高级教师，国家奥林匹克数学竞赛教练员，先后在湖北《中学数学》、陕西师大《中学数学教学参考》、江苏《中学数学月刊》等省级及其以上刊物上发表论文7篇，国家级获奖论文4篇，市级以上获奖论文10篇，出版合著8部、其中编著的5部教辅书在上百所学校使用，被评为 “精品图书”；奥数辅导的学生多人次在全国竞赛中获奖。联系方式：E-mail:xshzhou63@126.com QQ:987237648)

2011年高考数学陕西卷理科18题，以“叙述并证明余弦定理”，震撼了社会，使很多考生感到很意外，有的网民竟在网上说“他,如神一般,妙杀了38万陕西考生…打破了陕西高考数学历史……破坏了和谐社会…让百万群众所愤怒……”，对此，笔者不苟同，于2011年6月18日在网上以《2011年陕西理科数学高考题的分析与启示》为题为命题者伸冤：余弦定理的证明既在课本（指文1，北师大版，下同）必修五第二章第1.2节中，又是课本必修四第二章第5节从力做的功到向量的数量积中的例2，它的证明方法多样,不只局限于课本中的向量方法，在教学中如果能按新课程的教学理念组织学生认真研究,从各种不同的角度提出解决问题的方法并给以解决,学生应该可以很好地解决此题,但事实上我们很多的课堂是对此一带而过,直奔定理的应用,这是典型的应试教育教学方式,是对数学证明中追求理性精神的背

1叛。该题再一次提醒我们，教学要回归教材,教学要让学生经历一个从提出问题到解决问题的完整的过程,不能只注重知识的应用而忽视知识发生、发展的过程。其实这种叙述并证明课本中的定理的命题方式早在1980年的高考“叙述并证明换底公式”中出现过：，最近几年有的省份也曾出过“叙述并证明三垂线定理”，没有引起师生的重视。

今年——2012年高考数学陕西卷理科18题：（1）如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线（b不垂直于），c是直线b在上的投影，若ab，则ac”为真。

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）。

其实又是课本定理的证明：第一问是考课本（选修2—1）第41页例3（三垂线定理）的逆命题的证明，第二问是让写出三垂线定理，并判断其真假（不需要证明）。

（文2）对第一问给出两种证法：证法1（向量方法），类似课本（选修2—1）第41页例3（三垂线定理）的证明。证法2（传统方法），利用直线和平面垂直的性质证明。

对第二问，判断其真假的方法，可直接应用除三垂线定理的结论还可类似第一问证明，也还可在考场利用三角板做实验，验证其正确性，因只需判断其真假，不需要证明。

在立体几何中，可谓“处处有垂直，垂直无处不在”。立体几何中的垂直包括线线垂直、线面垂直、面面垂直,其中最基本的是线线垂

直。证明线线垂直，高考中常用三法：①利用三垂线定理及其逆定理证。②利用直线和平面垂直的性质证.③利用向量证。

纵观历年高考题，对于立体几何来说，考查重点是明确的，只是模型会有所变化。正如罗增儒教授多次强调的“抓住了垂直（不是只抓垂直），并作上一批高考立体几何题，临场的立体几何成绩一定能有立竿见影的提高”。空间想象能力好的考生可选择传统方法，以计算见长的考生可选择向量法。

对此题，社会反响比较平和，普遍看好，认为该题考查利用立体几何中重要的三垂线定理逆定理的证明及书写，属于核心知识，解题时用的是立体几何中最基本的方法，这比去年的余弦定理的证明来说，命题者给出了图形显然是降低了门槛，提高了试题的得分率。笔者认为只要认真研读、领会《考试说明》（或文3）中知识要求：（十

六）空间向量与立体几何③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理），不难解答此题。

2012年陕西高考理科数学18题对我们有以下二点启示：启示一：我们在以后的教学中要注重基本知识的学习,淡化技巧的演练,回归到数学学习的原点,让学生在数学学习过程中要感受到数学学习带给他们追求理性精神的快乐，而不是做题、做题、再做题，带给学生无助的痛苦。

启示二：在复习过程中要紧扣考纲要求，不失时机地回归教材，坚持“以本为纲、抓纲务本”，对考纲要求逐条落实，加强对典型例题、习题及变式问题的过手复习，尽可能地实现课本资源利用的最大化，深入研究每一道例（习）题，做到将例题、习题“变化”，巩固“双基”；将例题、习题“类化”，展现通性通法；将例题、习题“一

般化”，培养思维的概括能力；将例题、习题“深化”，培养思维的广阔性和深刻性等；注重学生思维的最近发展区，引领学生深刻理解课本知识，强化重点知识、弥补弱点知识和盲点知识，挖掘教材所蕴含的数学思想、数学方法和数学精髓，更有效地促进学生数学知识网络和方法体系的构建，使知识和能力产生良性迁移，达到举一反三，触类旁通之功效，进而摒弃题海战术，提高课堂教学效益，提高教学质量，更有效地提高学生的复习效率。

启示三：可以预测2013年陕西高考数学题，会借鉴今年的成功经验，继续出定理的证明或公式的推导。

参考文献：

1.普通高中课程标准实验教科书数学1—5（必修）、选修2-1，北京师范大学出版社，2008年4月第5版

2.陕西省招生委员会办公室编，《2012年普通高等学校招生考试 试题及参考答案》，西北工业大学出版社

3.西安市教育科学研究所编，《2010年新课程高考备考指导意见》，陕西人民出版社，2009年8月第一版

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