微分中值定理的证明与应用分析_微分中值定理的证明

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本科生毕业论文（设计）

题

目

微分中值定理的证明与应用分析

姓

名

马华龙

学号

2009145154

院

系

电气与自动化学院

专

业

测控与仪器技术

指导教师

魏春玲

职称

教授

2012 年 5月 20日 曲阜师范大学教务处制

目录

摘要............................................................................................................................................1 Abstract.......................................................................................................................................1 1 引言........................................................................................................................................1 2 微分中值定理及其相关概念.............................................................................................1 3 微分中值定理的证明方法....................................................................................................2 3.1 费马定理............................................................................................................................2 3.2 罗尔定理............................................................................................................................3 3.3 柯西中值定理....................................................................................................................4 4 定理的推广............................................................................................................................5 5 定理的应用............................................................................................................................6 5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式............................................................................6 5.2 利用微分中值定理证明不等式........................................................................................7 5.3 讨论根的存在性................................................................................................................8 6 总结........................................................................................................................................9 致谢..........................................................................................................................................10 参考文献..................................................................................................................................10

微分中值定理的证明与应用分析

测控与仪器专业学生 马华龙

指导教师

魏春玲

摘要：本文首先介绍了微分中值定理的基本内容极其几何意义然后又分别介绍了三个微分中值定理，最后有介绍了中值定理的推广和应用。详细介绍了中值定理在证明等式和不等式以及性态等方面的应用。

关键词：微分中值定理 推广 应用

Differential Mean Value Theorem Proof and Application Analysis Student majoring in Measurement and control technology and instrument

Ma Hualong

Tutor

Wei Chunling

Abstract：This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem.The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1引言

在数学研究与分析中，微分学占有极其重要的地位，它是组成数学分析的重要部分。而通过对微分学整体的学习，我们可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的，而且是最重要的定理之一，微分中值定理是构成微分学的主要组成部分。因此学好微分中值定理，对我们以后的继续在数学方面的研究是非常重要的。

人们对微分中值定理的研究从微积分的建立之始就开始了，微分中值定理分为：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出现的过程聚集了众多数学家的研究成果。而且从费马引理到柯西中值定理使微积分不断发展，理论知识也不段的丰富和完善，是自从引进微积分来数学研究的重要工具之一，并且中值定理的应用也越来越广泛。本文将首先讨论微分中值定理的证明，然后讨论它的应用，并且主要是讨论微分中值定理在证明等式、不等式、函数为常数、函数的性态等方面的应用。微分中值定理及其相关概念

微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日中值定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或者推广。也可以说微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理在内的定理的总称，而中值定理的证明会用到以下的概念。

limf(x)limg(x)xx0xx0极限的局部保号性： 若，则存在Δ≥0，任意x(x0,x0)，使得f(x)g(x)。

函数的单调性： 函数f(x)在定义域内，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称f(x)单调递增。当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称f(x)单调递减。

凹凸性： 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上

'yf(x)f凸)的,或称函数向下凸(上凸).而若的一阶导数(x)在(a,b)上单调递增(或递减),则称f(x)在(a,b)是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).最值：设f(x)在I上有定义,若存在x0I使任意xI，f(x0)f(x)（f(x0)f(x)），则称f(x0)为f(x)的最小值（最大值）。x0为最小值点（最大值点）。

极值：设f(x)在任意xI上有定义，若存在x0I,0,任意x(x0,x0)都有f(x)f(x0)（f(x0)f(x)），则称f(x0)为f(x)的一个极小值（极大值），x0成为极小值点（极大值点）。

除此之外，我们还应该看到罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的联系。这三个定力的关系：层层递进，步步深入，前者是后者的特殊情况，后者是前者的推广。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通过构造辅助函数，然后用罗尔定理加以证明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而罗尔定理有是拉格朗日中值定理的直接推论。微分中值定理的证明方法

3.1 费马定理

费马引理是是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。

xx费马引理的内容：函数f(x)在点0的某邻域U(x0)内有定义，并且在0处可导，如

'xU(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x0)=0。0，都有0或者0，那么果对于任意的费马定理的几何意义:若将函数f(x)的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定

x(x,f(x0))理具有几何意义:对曲线yf(x)上,若有一点0存在切线,且0为f(x)极值点.则这一点处的切线平行于x轴.证明方法：x0x为f(x)的极值点.不妨设0为极小值点,则

0,x(x0,x0),有f(x0)f(x).f(x)f(x0)0xx0xx0若,则;f(x)f(x0)0xx0xx0若,则;取极限:xx0limf(x)f(x0)f(x)f(x0)lim-xxxx0xx0与0分别为T、S

limf(x)f(x0)xx0.xx0x由于f(x)在0处可导,则T=S=由极限的局部保号性有:T0, S0.故 T=S=0.f(x)f(x0)lim0xx0f(x0)0 xx0所以有 即3.2 罗尔定理

若f(x)在[a,b]上连续，在内(a,b)可导，且f(a)f(b)，则至少存在一点a,b使f()0。

罗尔定理的几何意义：罗尔定理的三个已知条件的意义：

⒈f(x)在a,b上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；

⒉f(x)在a,b内可导表明曲线yf(x)在每一点处有切线存在； ⒊f(a)f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴

'f 罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b）内至少能找到一点，使()0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

罗尔定理的证明：根据f是闭区间a,b上连续函数的性质，由极值定理得在a,b 上有最大值(M)和最小值(m)。

1.如果Mm，此时f(x)在a,b上恒为常数，结论显然成立。

2.如果Mm，由条件f(a)f(b)知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)f(b)，不妨设Mf(a)（如果设mf(a)，证法完全类似），那么必定在开区间(a,b)内有一点使f()M。

'f(x)f()xa,bf法1：因此，有，由费马引理可知()0。

法2：由于f(x)在ξ处最大，故不论x是正或负，总有

f(x)f()0, 因此，当x0时，{f(x)f()}/x0，故由极限的保号性有

f'()lim{f(x)f()}/x0x0（1）

而当x0时，{f(x)f)}/x0，故

f_'()lim{f(x)f()}/x0x0（2）

''f()f由(1)，(2)两式及存在知，必有()0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的内容： 若函数f(x)满足:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间a,b内可导;则至少存在一点(a,b)使得

f(b)f(a)ba.拉格朗日定理的几何意义:如图所示,过A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线斜率

f()f(b)f(a)ba,而拉格朗日定理则表明了存在于曲线上的A,B两点某点的切线必定平行于直线AB.KAB拉格朗日中值定理的证明：

利用罗尔中值定理,构造辅助函数.f(b)f(a)F(x)f(x)f(a)(xa)ba.证明 作辅助函数

f(b)f(a)F(x)f(x)f(a)(xa)ba

显然,F(x)在a,b上连续, 在a,b内可导,且f(a)f(b)0,由罗尔定理可知,存

在一点(a,b)使得F()0 即

f(b)f(a)ba

推论 设f(x)、g(x)都在区间K上可导,且f(x)g(x),则

f(x)g(x)c f()3.3 柯西中值定理

柯西中值定理的内容： 设函数f(x)、g(x)满足:(1)在闭区间a,b上连续;

(2)在开区间a,b内可导,且g(x)0;则至少存在一点(a,b)使得

f()f(b)f(a)g()g(b)g(a).柯西中值定理的证明：由定理条件可知g(b)g(a),则存在(a,b)使得g(x)0,因此,只需证

 f()g(b)g(a)g()f(b)f(a)0.为此,构造函数

F(x)f(x)g(b)g(a)g(x)f(b)f(a),xa,b 显然,F(x)在a,b上连续,在a,b内可导,且F(a)F(b)根据罗尔定理,存在(a,b)使得

F()0f()g(b)g(a)g()f(b)f(a)0

f()f(b)f(a)所以,g()g(b)g(a).即定理的推广

前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容

a,b我们知道，这三个定理都要求函数fx在a,b上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间a,b，把它推广到无限区间a,或,，再把开区间a,b推广到无限区间a,或,的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？

通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。

limfxfafxa,a,x定理1 若在上连续，在内可导，且，则至少

f0a,存在一点，使成立。

证明：

111xa1tta1t令xa1，则t，即可得到关于t参数函数

t0,1当xa,时，则

limtfxftgt 即1a，t0，再令gtlimffxfaftxlim1g1limt0t0 g0limgtt0 g0g1  gt0,10,1在上连续，在内可导，且g0g1，由Rolle定理可得到，使g0成立 至少存在一点0,1令，使f0成立

证毕

limfxlimfx,,fxx定理2 若在上连续，在内可导，并且x，至

f0,少存在一点，使成立。

定理2的证明可以参照定理1。

limfxMa,a,定理3 若fx在上连续，在内可导，并且x，则至少存在，有至少存在一点a,f0，而

120.一点a,，使 成立。Mfaf21a证明：设t111xa1ta1xa1，则tt，即可得到关于t参数函数

当xa,时，则t0,1 limtfxftgt 即1a，t0，再令limgtlimtlimfxM t0t0xg0limgtMt0 gt在0,1上连续，在

0,1内可导，由Lagrange定理得

g1g010成立 至少存在一点0,1，使

g即gfaM

1令，有gf，而至少存在一点a,，使

Mfaf21a21a2，成立.证毕定理的应用

5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式

在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键。在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论。我们一下面一个例题来讲解。

1f(0)f(1)0,f12例：设函数f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，1(,1)2，使f()；

试证(1)存在(2)对任意实数λ，必存在(0,)，使

得

f'()[f()]1

分析(1)欲证等式可写成 f()0

1(,1)则只需设(x)f(x)x在2上存在零点.(2)欲证等式可改写成 [f'()1][f()]0

''x(x)f(x)x,(x)f(x)1F(x)e(x)，再对 由于，则只需取辅助函数

F(x)在[0,]上用罗尔定理.1110,(1)10[,1](x)f(x)x(x)证(1)，因在2上连续，22，1(,1)2，使得 故由零点定理，存在()0,即f()

(2)令F(0)= 0 ,，因F(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导，且，故由罗尔定理，存在，使得

由于，故得

f'()[f()]1

例：设0ab,f(x)在a,b连续可导,则存在a,b使得

f(b)f(a)f()ln证明 令

ba.g(x)lnx

则g(x)0,且f(x),g(x)在a,b上连续在a,b内可导

根据柯西定理,存在a,b使得

f()f(b)f(a)g()lnblna

f(b)f(a)f()ln即,5.2 利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理在不等式的证明中同样起到重要的作用，因此在证明不等式的时候，可以考虑从中值定理入手，从而解决问题。首先我们给出利用中值定理证明不等式的步(1)构造辅助函数f(x)；骤：（2）；构造微分中值定理需要的区间[a,b]；（3）利用(a,b)，'对f()进行适当的收缩。下面我们给出几个证明不等式的例子。

ba.例1： 证明对任何正数a、b(ab)有

baabalnba.b证明 令f(x)lnx,xa,b.则f(x)在a,b上连续,在a,b内可导,根据拉格朗日中值定理,存在a,b使得

1lnblnaba

111由于a,b,所以ba,即有

baabalnba

b例2：设x0，对01的情况，求证xx1。

分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当x1时，等式两边就相等了，所以接下来排除x1，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把

fxx左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？不妨设，Fxx。利用Cauchy定理即可证明。

fxxx,11,xx1x1证明：当时结论显然成立，当时，取或，在该区间设，Fxx，由柯西定理得：

fxf1fx,11,xFxF1F 或

x111即x

当x1时，x,1，x11即x

11

又xx10

故x1x，即x11

1,x11当x1时，则xx10

故x1x，即x11 由此，不等式得证。5.3 讨论根的存在性

在证明根的存在性问题时，当遇到满足微分中值定理的相关条件时，就能够从中值定理的角度来解决问题。因此我们可以说，微分中值定理可以应用在解决根的存在性的问题上。我们从下面的例题来看中值定理在这方面的应用。

例1：设a1,a2,,an为任意n个实数,证明函数: 在(0,)必有零点.f(x)a1cosxa2cos2xancosnx  证法 利用罗尔定理,令F(x)f(x),只需F(x)在0,上满足罗尔定理条件.证明 作辅助函数

11a2cos2xancosnx,x0,2n ,则

F(x)a1cosxa2cos2xancosnxf(x)

容易验证F(x)在0,上连续,在(0,)可导,且 F(x)a1cosxF()F(0)0,所以存在(0,)使得  F()0,即f()0.所以,f(x)在(0,)必存在零点.例2： 设aiR且满足a0a1x1a2x2...anxn0在(0,1)内至少有一个实根.x2x3xn1F(x)a0xa1a2...an23n1, 证明： 引进辅助函数显然F(0)F(1)0,F(x)又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,F(x)满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)使

F()0 而

F(x)a0a1x1a2x2...anxn 故方程

a0a1x1a2x2...anxn0 在(0,1)内至少有一个实根.注：本题构造F(x)的依据是使F(x)得导数恰好是所证方程的左边.a0aa1a2...n023n1,证明方程总结

本文是研究主要是通过在大学阶段对有关数学方面的知识的分析和学习得到的，并参考了一些图书资料。从整个世界来看，人们对中值定理的研究从微积分的建立之时就开始了，至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果。本文通过与老师同学的讨论，介绍了微分中值定理的主要证明方法和在数学方面的应用分析，分析了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明方法；在应用方面主要通过例题的形式讨论研究了中值定理在证明等式、不等式、恒等式以及在讨论方程根的存在性等方面的应用。

深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用。

致谢

完成本论文，我要特别感谢我的指导老师魏老师的热怀和指导。在我撰写论文的过程中，魏老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老师教诲和帮助在此表示真诚地感谢和深深的谢意。

最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示感谢！参考文献

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